Iracionalni brojavi

Pokazati dva eksplicitno iracionalna broja a, b tako da je a^b
racionalno

je iracionalno.
Ako pokažemo da je iracionalno i , (za , ) onda imamo da je .

Pretpostavimo suprotno, tj. da je , za , , onda posle sređivanja dobijamo da je , a to je kontradikcija, jer bi to značilo da broj poništava polinom sa celobrojnim koeficijentima , pa ne bi bilo transcendentno.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Uzmimo i . Tada je . Ako je ovaj broj racionalan, potraga je završena. Ako je iracionalan, uzećemo i . Tada je

@Farenhajt

To što si napisao jeste dokaz da traženi brojevi postoje, ali ne i rešenje zadatka koji glasi "Naći brojeve a i b takve da...". Ako se traži samo dokaz postojanja, onda je ovo OK. Ako se traži da se ti elementi i nađu, onda nisi napisao šta je a, a šta b.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

@Nedeljko:

Smem li se pozvati na Gelfond-Šnajderovu teoremu, te tako ustvrditi da je i rešenje zadatka?

A moglo je i daleko prostije: Ako uzmemo i , imamo da je . Da je iracionalno dokazuje se elementarno, a za pretpostavimo da je racionalno, tj. . Tada bi bilo što je očigledno nemoguće.

Odlično!

Možemo još za nijansu da uprostimo: i

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Na kraju, mogli bi lagano da rešimo i opštiji slučaj:

Naći iracionalne brojeve takve da je broj racionalan.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Jel' to da malo vežbamo ugneždene logaritme u TeX-u?

A konto toga: Šta kaže teoretičar brojeva kad padne u vodu?

Log-log-log-log-log...

Ha, ha! To znači da ako bi (ne daj Bože) Aleksandar Ivić upao u vodu onda bi se čulo samo:



ko nije shvatio štos neka klikne ovde


Izgleda da imaš neka drugačija rešenja od onih koje sam ja imao u vidu, mada, priznajem da sam se nadao da ću usput videti kako se u -u piše "up right ellipsis".

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Proširimo li tvoju ideju (pod oznakom podrazumeva se , radi sažetosti) i uzmemo li u obzir da je , imamo:

, i tako puta, gde se mora odabrati dovoljno veliko da bi ugneždeni logaritmi ostali definisani.

A tebi ostavljam dokaz da je iracionalan broj, kao i diskusiju o dovoljno velikom



Šalu na stranu - lakši rezultat dobija se na sledeći način: Slično kao maločas, lako se dokazuje da je iracionalan, a pri tome imamo da je . Sada možemo pisati:
Postupak nastavljamo koliko nam puta treba, a završnu dvojku u eksponentu pišemo kao .
Dakle, jedna moguća -torka koja daje rezultat glasi .

To je to! (mislim na ovo poslednje rešenje mada sam ja imao i varijantu, da svi osim poslednjeg budu )

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Hoćemo li sad tražiti -torke gde su svi brojevi po parovima različiti?

(I mislim da ne razumem ovo da si imao varijantu da su svi osim poslednjeg koren iz 2 - to rešenje sam i ja postovao - ili bar tome slično rešenje). Kakvo si ti imao?

Može



Nije teško pokazati da je za svako

//Edit: Sad sam video da si menjao poslednju poruku:
ako hoćeš ono staro rešenje - možeš ga dobiti iz ovog novog - ukloniš celobrojne koeficijente ispred svakog korena

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Lepo Može li se eksplicitno izračunati vrednost izraza? (Mislim na prvu varijantu, sa (n-1) korenova iz 2.)

Nemam pojma - što i nije čudno u ovo doba "dana"
Ali u svakom slučaju imamo posla sa nekim rođakom Ackermann-ove funkcije - pa ko voli da računa...

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Zamisli da na takmičenju za sedmake, koji rade korenovanje, daš ovakav zadatak:

Rešiti jednačinu

Koliko njih bi se zablenulo?

Sigurno svi osim Nedeljka

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}