Trostruki integral-odredjivanje granica integrala-HELP!!!!

Danas sam sasvim slucajno nabasao na ovaj sajt i kontam da to nije samo slucajnost, vidim ima vrsnih matematicara pa molim za pomoc...Treba da upisem cetvrtu godinu i dao sam uslov iz trece ali je problem sto nisam ocistio drugu a pretpostavljam da mozete da naslutite koji ispit treba da polozim..Radi se o racunanjui zapremine i problem je u tome sto se ne snalazim najsjajnije u prostoru i ako uspem da nacrtam sve te ravni, cilindre i konuse onda ne mogu da skontam projekciju u x,y ravan i ne mogu da odredim granice integrala...Sam racun mi ne predstavlja problem posto se uglavnom sve svodi na tablicne integrale ili se rade jednostavne smene ali sve je to dzaba kad su mi granice pogresne..Ako nije problem postavite neke linkove sa objasnjenjima ili napisite nesto sto bi moglo da mi pomogne, pozdrav i hvala unapred!

Isprojektujes povrsi koje si dobiona neku ravan npr. xOy (tako sto stavis da je z=0) i odredis granice te projekcije kao da radis povcrsinu toga. Onda iz jednacina izrazis z i donja granica za z ti je ona povrs koja ti je "bliza" ravni xOy. Ako ti je jednacina blize povrsi npr x^2-z=-y^2 tada ti je donja granica za z: x^2+y^2 tj treba da napravis tu jednacinu tako da ti bude u obliku z=f(x,y). Gornja granica ti je ona povrs koja ti je "dalja" od ravni xOy. Ovo sam ti pisao pod pretpostavko da se tijelo cija se zapremina trazi nalazi "iznad" ravni xOy. Sad napises trostruki integral sa tim granicama dxdydz i to ti je zapremina.
Projekcija se moze vrsiti i na neku drugu ravan, pa se ostalo radi analongo.
To je ukratko postupak ako ti je poznato kako izgleda povrs, ako neznas onda radis sa smjenama (to radi iz radenoviceve zbirke). U zbirci iz analiticke imas na jednoj strani (ne znam tacno kojoj) kanonske jednacine povrsi i koja jednacina (kanonska) predstavlja koje tijelo.
A kako mislis da izlazis analizu II kad je prosao oktobarski rok, obraduj me da ce dati jos jedan rok za dvojku?

Potpis

Reko mi tvoj brat da studiras za programatora!

A sad sam vidio da si iz novog sada pa pretpostavljam da tamo studiras, a vama mozda nije prosao oktobar. A autor ove zbirke iz analiticke je Mirjana Djoric kao prvi autor i jos jedna zena ako se nevaram.

Potpis

Reko mi tvoj brat da studiras za programatora!

U pravu si, studiram u NS i to ce biti tzv oktobar dva sto nije redovan rok ali ga daju svake godine...Ne radi se o analizi II, studiram tehnologiju i kad polozim metematiku II zavrsio sam sa matenmatikom sto mi nece tesko pasti...Kad mogu da predjem na polarne koordinate onda je problem manji ali kad treba da nadjem granice za x, y i z onda se nacisto pogubim zato sto ne mogu da se snadjem na slici koju nacrtam, recimo danas sam malo surfovao i nasao primere nekih zadataka i preseci su uradjeni na racunaru i sve je savrseno jasno posto je uradjeno u 3D...Sad cu malo da prostudiram ovo sto si napisao pa da vidim da li ce mi pomoci, hvala u svakom slucaju!

malada ti je lijepo objasnio a ja cu samo brzinski dodati da NE MORAS svaku plohu iz zadatka biti u stanju tocno nacrtati ili zamisliti..
zapravo, to je u iole kompliciranijem slucaju jako tesko, ako ne i nemoguce, a ja bih rekao i bespotrebno pogotovo na ispitu gubiti vrijeme na to... Jer je za rjesavanje mnogo vaznije kako izgledaju projekcije na koordinatne osi... odnosno na jednu od njih koju odaberes kao najpogodniju...
Dakle jednostavno postupi kao sto ti je malada rekao.. eliminiraj iz jednadzbi plohe recimo varijablu z i dobit ces jednadzbu projekcije na xOy...

Pretpostavljam da su vecini ovi zadaci smesni ali ja se konkretno sad smaram sa ovim zadatkom,

Naci zapreminu ogranicenu povrsima:
z=-y^2-2y+3
x+y=5
x=2
z=0

i nesto mi bas i ne ide sjajno pa ako je neko raspolozen da mi rastumaci zadatak neka izvoli a ja cu mu biti zahvalan zbog toga hahaha

Najprije dakle pokusas skicirati jednadzbe u xOy ravnini.
Prva jednadzba nam daje explicitno sto je z, pa ako zelimo naci projekciju na xOy ravninu, jednostavno u tu jednadzbu stavimo z=0 (u ovom slucaju u toj jednadzbi se uopce ne javlja x, sto nam samo olaksava, jer to znaci da ona vrijedi za svaki x.. tj parabola z=blabla se proteze duz cijele x osi).. Dakle, u tu prvu jednadzbu kad stavis z=0, dobijes kvadratnu jedn u varijabli y koja ima dva rjesenja -3 i 1.
Sad u xOy ravninu ucrtaj te tocke na osi y, a onda jer kako smo rekli da ta jednadzba vrijedi za svaki x, povuci pravce kroz te tocke paralelne s x osi!
(Dobio si zasad traku oko x osi koju ogranicavaju dva pravca paralelna njoj koja prolaze kroz -3 i 1.. osjenci tu traku)
Sad vec pokusas malo zamisliti od koje do koje vrijednosti ti ide z?.. Pogledas zadnju jednadzbu koja kaze da z ide od 0, e sad druga granica moze ici iznad ili ispod xOy ravnine... Odgovor na to potrazis tako da skiciras prvu jednadzbu u yOz ravnini!!... Opcenito se to radi da stavis x=0 u jednadzbu, ali posto se u tvojoj jednadzbi ne javlja x uopce, jednostavno nacrtas parabolu z=-y^2-2y+3 u yOz ravnini (nadam se da to nije problem).. i uocavas da parabola ima maximum iznad xOy ravnine i siri se prema njoj i dalje.. Sad uocavas da ce se z kretati od vriejdnosti 0 do parabole iznad xOy ravnine (Ovaj slucaj je jednostavan, pa mozemo to i zamisliti kao neki tunel duz x osi, i iznad xOy ravnine, cija je sirina od -3 do 1 po y.
Nadam se da me pratis..
Da bi imali zatvoreno tijelo, trebamo taj tunel ograniciti s obje strane.. i to ogranicenje je dano preostalim dvjema jednazbama.. tj pocetak tunela je od x=2 (pretpostavljam da ti nije problem zamisliti tu ravninu okomito na x os koja prolazi kroz x=2) skiciraj taj pravac u xOy ravnini i vec si podijelio onu traku na dva dijela... oba pocinju u pravcu x=2 a zavrsavaju u beskonacnosti (+ ili - po x-u)..
... da bi imao konacnu zapreminu treba ti jos jedna ravnina da ogranici traku (tj tunel iznad nje) ... zato ti je dana zadnja jednazba x+y=5... skiciraj taj pravac u xOy ravnini.. posebno te zanima onaj dio gdje taj pravac sijece traku...
i vec si rijesio glavni problem.. tj nasao PROJEKCIJU na xOy ravninu...
Dakle, ta projekcija je polutraka sirine od -3 do 1 po y-u, a po x-u ide od pravca x=2 do pravca x=5-y.. osjenci to podrucje..

Preostaje nam sad jos samo odrediti granice:
Granice z-a smo vec odredili (napomenimo da nam je u tom pomoglo projiciranje na yOz ravninu) dakle:
(znak "<" citaj "manje ili jednako")

0<z<-y^2-2y+3
-3<y<1
2<x<5-y

Da ukratko ponovim proceduru koju smo napravili a koju ces moci primijeniti i na druge zadatke:
1) U jednadzbu sa z, stavis z=0 cime dobijas projekciju na xOy ravninu..
2) Skiciras tu projekciju na xOy ravninu
3) Skiciras projekcije preostalih jednadzbi na xOy ravninu (najcesce preostale jednazbe predstavljaju neke ravnine okomite na xOy ravninu, pa to i nije problem jer treba samo nacrtati pravce u xOy ravnini)
4) Dobio si dakle skicu podrucja, tj projekcije na xOy ravninu
5) Pomocu te skice vec mozes odrediti granice po x i po y
6) Preostaje odrediti granice po z... u tu svrhu napravi projekciju jednazbi u kojima se javlja z na yOz ravninu tako da stavis u tu jednadzbu x=0 (ili na xOz ravninu tako da stavis u tu jednadzbu y=0)... i pogledas od koje do koje krivulje ti ide z (najcesce je to od z=0 do z-a iz pocetne jednazbe)
7) I to je to.. napises te granice jednu ispod druge kao sto sam ja gore.. i uvrstis u integral..

Nadam se da sam pomogao, i da nisam pogrijesio negdje..

Klupko odmotao si mi klupko, hvala ti puno...