Trebam dokaz za nešto iz linearne algebre

Trebam dokaz za nešto iz linearne algebre 20.09.2005. u 09:54 · pre 257 meseci #1

Htno potreban dokaz za sledeću teoremu:
"V(F)-vektorski prostor,(a1,a2,...,an) linearno nezavisan niz vektora,a (b1,b2,...,bm) niz generatora tog prostora onda važi da je n<=m"

Re: Trebam dokaz za nešto iz linearne algebre 20.09.2005. u 10:50 · pre 257 meseci #2

Pretpostavimo suprotno da je n>m.
Tada b1...bm generise v.p. V tj. taj sistem sadrzi bar jednu bazu (ako je p broj vektora baze tada je m>=p) i a1,...,an sistem lin. nez. vektora tog prostora. a posto je baza v.p. najveci broj lin. nezavisnih vektora u tom prostoru dobijamo da je p>=n => m>=p>=n sto je suprotno pretpostavci da je n>m dakle mora biti m>=n.

Potpis

Reko mi tvoj brat da studiras za programatora!

Re: Trebam dokaz za nešto iz linearne algebre 20.09.2005. u 20:50 · pre 257 meseci #3

Lema: Neka je $a$ bilo koji nenula vektor i $B$ bilo koji skup vektora takav da je vektor $a$ u linearnom omotaču skupa $B.$ Tada postoji vektor $b\in B$ takav da za skup $B'=(B\setminus\{b\})\cup\{a\}$ važi

a) Skupovi $B$ i $B'$ imaju iste linearne omotače.
b) Skup $B'$ je linearno nezavisan ako i samo ako je skup $B$ linearno nezavisan.

Dokaz: Neka su $b_1,\dots,b_k\in B takvi vektori i \lambda_1,\dots,\lambda_m takvi skalari različiti od nule takvi da važi a=\lambda_1b_1\cdots\lambda_kb_k. Takav izbor je moguć jer je vektor a$ u linearnom omotaču skupa $B. Pošto a$ nije nula vektor, biće $k\geq 1. Primenimo nad skupom vektora B$ sledeće elementarne operacije: najpre vektor $b_1 pomnožimo sa \lambda_1,$ a potom dobijenom vektoru dodajmo vektor $b_i$ pomnožen sa $\lambda_i$ za sve $2\leq i\leq k,$ ako takvih ima. Rezultat će biti skup $B',$ a osobine a) i b) će biti posledice činjenice da je skup $B' dobijen primenom elementarnih operacija nad skupom B.$

Sada se tvoje tvrđenje dokazuje indukcijom po broju $k$ vektora iz sistema $(a_1,\dots,a_n)$ koji se ne pojavljuju u sistemu $(b_1,\dots,b_m).$ Ako među vektorima $a_1,\dots,a_n$ nema onih koji se ne pojavljuju u sistemu $(b_1,\dots,b_m),$ onda tvrđenje svakako važi. U suprotnom, neka se vektor $a_i$ ne pojavljuje u sistemu $(b_1,\dots,b_m).$ Pošto su vektori $a_1,\dots,a_n$ linearno nezavisni, $a_i$ ne može biti nula vektor, pa će postojati neki vektor $b_j takav da skup B=\{b_1,\dots,b_m\}$ ima isti linearni omotač kao skup $B'=(B\setminus\{b_j\})\cup\{a_i\}.$ Sada tvrđenje dokazuje primenom induktivne pretpostavke na sistem $(a_1,\dots,a_n)$ i sistem koji se dobija zamenom vektora $b_j$ u sistemu $(b_1,\dots,b_m)$ vektorom $a_i.$

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme