[workshop] Zadaci i njihovo resavanje

[workshop] Zadaci i njihovo resavanje 27.05.2005. u 09:27 · pre 260 meseci #1

Juce je neki tip postovao na ovom forumu nesto u fazonu "10 zadataka iz matematike" i prilozio neke zadatke koje nije umeo da uradi. Slucajno sam skinuo te zadatke i posto nisam imao pametnija posla 2 komada i resio, al da vidis cuda, od njegovog posta danas ni traga! E sad, posto i ja imam muke sa nekim zadacima (oko pripreme prijemnog na faksu) obnovicu ovu temu sa nadom da ovaj pun ne iscezne. Nadam se da ce biti onih koji ce moci da doprinesu resavanju nekih prostijih ali i slozenijih zadataka. POZDRAV :)

Prilazem i zadatke koje je ovaj tip ostavio

zadaci.jpg37.66k

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 27.05.2005. u 10:05 · pre 260 meseci #2

A prilazem i moje resenje za sedmi zadatak ...

zadaci7.jpg72.37k

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 27.05.2005. u 10:06 · pre 260 meseci #3

Kao i grafik za isti zadatak

Takodje resio sam i osmi, al prikacicu ga veceras jer sad imam obaveze. Poz :)

zadaci7grafik.jpg48.17k

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 27.05.2005. u 18:29 · pre 260 meseci #4

Ja sam post-ovao ove zadatke ali mi je admin obrisao, medjutim kontaktirao sam ga i rekao mi je da ovu nece da brise, hvala na resenju 7-og od velike je pomoci.

Potpis

Dont just die, die trying!

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 27.05.2005. u 21:11 · pre 260 meseci #5

Kao sto sam obecao evo i osmog zadatka pod b

Samo da znas da ovde treba da dobijes tablicne limese (otud znam da je ono 1 i 0.5)
A sto se tice zadatka 8 pod a, nisam jos uvek siguran za njegovo resenje, ali po svemu sudeci cini mi se da je resenje plus beskonacno

Poz!

zadaci8b.jpg22.55k

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 28.05.2005. u 04:06 · pre 260 meseci #6

Posebno me zanima ako neko zna resenje petog.
Verovali ili ne zadatak sam radio 5 DANA!!! i naravno nisam ga resio!!!
Bio sam poceo da cupam kosu, (sreca da je imam dosta :) )
resim ga do pola svaki put ali dalje se totalno zagubim i skoro svaki put uradim drugacije!
Najvise me nervira sto sam jedan slican uradio bez problema, znaci, ovo mi je totalna misterija.Ko moze i hoce neka proba da pomogne, bicu zahvalan svima.

Potpis

Dont just die, die trying!

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 28.05.2005. u 10:03 · pre 260 meseci #7

Dakle, fora je u sledecem:
$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \imath = \cos 30^o + \imath \sin 30^o$
$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \imath = \cos 120^o + \imath \sin 120^o$
Zbog Muavrove formule i mnozenja kompleksih brojeva je onda tvoj izraz jednak:

$((\cos 30^o + \imath \sin 30^o) \cdot 2 \cdot (\cos 120^o + \imath \sin 120^o))^{2005} = 2^{2005} \cdot (\cos 150^o + \imath \sin 150^o)^{2005} = 2^{2005} \cdot (\cos {150 \cdot 2005}^o + \imath \sin {150 \cdot 2005}^o) = 2^{2005} \cdot (\cos {150 \cdot 2005}^o + \imath \sin {150 \cdot 2005}^o) 2^{2005} \cdot (\cos {150}^o + \imath \sin {150}^o) = 2^{2005} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \imath)$

Pozdrav!

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 29.05.2005. u 12:10 · pre 260 meseci #8

Osmi zadatak pod a.:
$\left(\frac{\cos 3x}{\cos 4x}\right)^{1/x^2}= e^{\ln(\cos 3x/\cos 4x)/x^2}$
$cos 3x=1-\frac{9x^2}{2}+o(x^2)$
$cos 4x=1-\frac{16x^2}{2}+o(x^2)$
$\frac{\cos 3x}{\cos 4x}=\left(1-\frac{9x^2}{2}+o(x^2)\right) \left(1-\frac{16x^2}{2}+o(x^2)\right)^{-1}=\left(1-\frac{9x^2}{2}+o(x^2)\right) \left(1+\frac{16x^2}{2}+o(x^2)\right)=\left(1+\frac{7x^2}{2}+o(x^2)\right)$
$\ln\left(1+\frac{7x^2}{2}+o(x^2)\right)=\frac{7x^2}{2}+o(x^2)$
$e^{7x^2/2x^2+o(x^2)}=e^{7/2}$ kada x teži nuli.
Tako da je na kraju rezultat $e^{7/2}$ .

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 29.05.2005. u 13:15 · pre 260 meseci #9

Evo jednostavnije osmi pod b) (nije potrebno poznavanja tabličnih limesa):
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{2xe^{x^2}+\sin x}{2x}=\lim_{x\to 0}e^{x^2}+\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2x}=1+\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}2=1+\frac 1 2=\frac 3 2$

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 29.05.2005. u 13:40 · pre 260 meseci #10

Tomkeus nije dobio dobar rezultat za osmi pod a), treba $e^{\frac 7 2}$ :

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\cos 3x}{\cos 4x}\right)^{\frac 1 {x^2}}=\lim_{x\to 0}e^{\frac 1 {x^2}\ln\left(\frac{\cos 3x}{\cos 4x}\right)}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos 3x)-\ln(\cos 4x)}{x^2}}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\frac{3}{\cos 3x}(-\sin 3x)-\frac{4}{\cos 4x}(-\sin 4x)}{2x}}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{4\hbox{tg}\,4x-3\hbox{tg}\,3x}{2x}}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\frac{16}{\cos^24x}-\frac{9}{\cos^23x}}2}=e^{\frac 7 2}$

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 29.05.2005. u 16:08 · pre 260 meseci #11

Da, izvinjavam se. Pogrešio sam kada sam oduzimao 9 od 16. Ispraviću.

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 30.05.2005. u 02:24 · pre 260 meseci #12

Ljudi zahvaljujem vam se svima puno.
Nemojte da mislite da sam lenj, samo nemam nista pametno da kazem.
Ispit cu izgleda da okinem i ovaj put, ali ovo pomaze dosta.
Pa mora da se nauci u svakom slucaju.

Potpis

Dont just die, die trying!

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 31.05.2005. u 19:19 · pre 260 meseci #13

@IronTIRANIN

U funkciji si napisao sve & svašta.

Pošto je $(x-1)^2\ge 0\quad(\forall x \in R)$ , vidimo da je $\lim_{x\rightarrow 1_-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1_+}f(x)=+\infty$ .

Dalje, $x\in (1,\ +\infty) \quad f>0\quad f\searrow \quad f \bigcup$

Zatim simbol $\swarrow$ ne znači ništa.

Zatim si pogrešio drugi izvod.
$y''=2\frac{2x+1}{(x-1)^4}$

Dalje funkcija je konvexna na $(-\frac{1}{2},1)\cup (1,+\infty)$

Ali ovo je ubedljivo najveća greška

Code:

y' < 0 za 0>x>1

Naime ko je čuo za negativne brojeve veće od 1 ?

Tačno je da

$f\nearrow \Leftrightarrow x\in(0,1) \\ f\searrow \Leftrightarrow x\in(-\infty,0) \cup (1,+\infty)$

Btw ni grafik ne valja.

Funkcija ne može biti ograničena odozgo kada $x\rightarrow \pm \infty$ i konkavna.

Ne može biti $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty$ , ako je f-ja konkavna.

Nacrtao si ćošak na f-ji.

Najzad, funkcija koju si ti skicirao nema vertikalnih asimptota.

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 01.06.2005. u 02:01 · pre 260 meseci #14

Jedna ispravka. Ova funkcija nije konveksna na skupu $\textstyle (-\frac{1}{2},1)\cup(1,+\infty)$ , nego na intervalima $\textstyle [-\frac{1}{2},1)$ i $(1,+\infty)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 01.06.2005. u 11:43 · pre 260 meseci #15

Znam, znam ....

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 02.06.2005. u 08:08 · pre 260 meseci #16

Ljudi primetio sam i sam da nesto ne stima na onom grafiku, al vi preterujete. Te strelica ne znaci nista, te f-je nema vertikalne asimptote, i jos nesto tu i tamo.

Kako KPUY f-ja nema vertikalne asimptote ????????

Usput KPYU, da se razumemo. Video sam da sam pogresio asimptotu kad x tezi 1-0 i drugi izvod (lose sam sabrao) ali ostalo je sve ok, jedino sto treba nacrtati grafik opet ali sa ispravnim parametrima, a sto se tice moje relacije 0>x>1 ne sitnicari. Mislim da je jasno da to znaci x>1 i x<0 samo me mrzelo to tako da pisem. Ispravicu grafik, ali znaj da si preterao ...

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 03.06.2005. u 00:06 · pre 260 meseci #17

Dragi tiranine,

budalaština koju sam ja napisao, stajala bi me par poena na ispitu, jer kao što Nedeljko napisa, mi tražimo intervale konvexnosti, a ne skupove. Ovo je Analiza. Znači nije toliko bitan račun, koliko sve što znaš o funkciji. Jednog mog prijatelja, asistent je oborio stoga što je dotični u prevojnoj tački napravio ćošak.

Asistenti pokušavaju da urade 2 stvari:

1. Da nauče ljude da taxativno (redom) navode sve bitne stvari vezane za analizu funkcije. Većina stvari u funkcijama je redundantna. To će reći da već iz analize možeš videti gde si pogrešio. Neke stvari sam već napomenuo. Imamo ih još. Npr ako funkcija ima minimum u tački x₀, koja je unutrašnja tačka domena, funkcija je konvexna u okolini te tačke x₀.

2. Da obori ljude, da ne bi izašli na usmeni, jer bi profesor onda morao da ih obara. Ukoliko ih profesor ne obori, studenti ne bi učili mnogo, gomila bi nastavljala dalje sa nastavom na fakultetu. Niko ne bi učio (jer svi vide da ne moraš učiti), a bila bi gužva. Ovako: asistenti obaraju, svi shvataju da moraš dugo & pažljivo pričati, gomila ljudi odustaje od faxa & zapošljavaju se, ekonomija cveta, svi su radosni.

Ja nisam isekao tvoj zadatak stoga što volim da sečem ljude, već da bih ukazao na neke tvoje greške, e da ih ti ne bi pravio kad to bude za stvarno.

Mislim da ćeš složiti sa mnom da si napisao nešto što ne valja, kad si napisao 0>x>1. Ja mogu da se složim sa tobom kad kažeš da sam dobro znao šta si hteo time da kažeš, ali ti to nisi rekao. Asistenti boduju isključivo ono što si rekao, a ne ono što si hteo da kažeš. Nemoj da te seckaju zato što te mrzelo da napišeš par slova.

Dalje asimptota je prava kojoj se grafik funkcije beskonačno približava. To da se grafik lagano ispravlja i lepi uz pravu. To nisi nacrtao.

Što se simbola tiče, on je takav kakav jeste. Ti nigde ne možeš da napišeš neko slovo pogrešno i da kažeš :"Ja to tako pišem.", a da ti neko ne odgovori sa :"To se tako ne piše."

Pred kraj 1 mali trik: pre nego što nacrtaš funkciju, unesi asimptote i bitne tačke (to sam video da znaš) i tangente u bitnim tačkama - ponaročito u prevojima (da bi izbegao ćoškove).

Najzad, grafik:

PS nisam imao ni želju ni volju da preterujem, niti da te uvredim. Nemoj ovo da shvatiš kao moje soljenje tebi, već kao savet.

PPS Limese si uradio fenomenalno & efektno (da te malo i pohvalim). nema onog mrljavljenja sa l'Hospitalom

grafik.bmp14.28k

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 03.06.2005. u 02:16 · pre 260 meseci #18

Dragi tiranine,

Ne postoji broj $x$ za koji je $0>x>1.$ Postoje realni brojevi $x$ za koje je $0<x<1,$ ali to je drugo! Funkcija ima vertikalnu asimptotu, kao što je KPYU i skicirao, ali je na tvom grafiku tiranine nema. Ne zato što funkcija nema vertikalnu asimptotu, nego zato što ti grafik nije dobar. Funkcija se ne može sa leve strane približavati vertikalnoj asimptoti konkavno ako raste. Inače, onveksnost funkcija se definiše na konveksnim skupovima. Na reanoj pravoj su to intervali. KPYU ti ništa nije loše niti zlonamerno napisao.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 03.06.2005. u 08:45 · pre 260 meseci #19

Samo da priložim jednu dodatnu ideju za zadatak sa limesom, nešto što se može primeniti uvek kada je u pitanju limes oblika $1^\infty$
$\left(\frac{\cos 3x}{\cos 4x}\right)^{\frac 1 {x^2}}=\left(1+\frac{\cos 3x}{\cos 4x}-1\right)^{\frac 1 {x^2}}=\left(1+\frac{\cos 3x- \cos 4x}{\cos 4x}\right)^{\frac 1 {x^2}}=\left[\left(1+\frac{\cos 3x- \cos 4x}{\cos 4x}\right)^{\frac {\cos 4x}{\cos 3x - \cos 4x}}\right]^{\frac {\cos 3x - \cos 4x}{x^2 \cos 4x}}$
Ok, izgleda malo nabudženo, ali ni alternativa sa ln-e nije prizemna kuća...
Ovde ostaje da se uradi $\lim_{x \to 0}{\frac {\cos 3x - \cos 4x}{x^2 \cos 4x}}$ , jer izraz u uglastim zagradama teži e kad x teži nuli. Ovo bi moglo i da se uopšti i napravi neka vrsta formule...

Re: [workshop] Zadaci i njihovo resavanje 04.06.2005. u 13:00 · pre 260 meseci #20

Prihvatm kritiku. Savrseno sam razumeo ono za obaranje od strane asistenta. Samo mala napomena za grafik : za x<0.25 f-ja je konveksna a za x>0.25 konkavna. A to povlaci da ona f-ja mora da ima mali cosak u x=0.25.

Nego da ja dalje ne tupim, jer zadatak je resen, slazam se sa onim sto KPYU rece.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme