Nejednakost za homogene simetricne polinome

Odgovori Nova tema

3 odgovora
4.215 pregleda

Nejednakost za homogene simetricne polinome 21.05.2005. u 21:14 · pre 261 mesec #1

Da li je tacno sledece tvrdjenje:

Neka je $P(u,v,w)$ homogeni simetricni polinom treceg stepena. Onda su sledeca dva tvrdjenja ekvivalentna:
a) $P(1,1,1), P(1,1,0), P(1,0,0)\geq 0$ .
b) $P(x,y,z)\geq 0$ za svako $x,y,z\geq 0$ .

Ako je tacno da li ovo ima neko ime?

Re: Nejednakost za homogene simetricne polinome 22.05.2005. u 21:35 · pre 261 mesec #2

Nisam ranije video ovo ali mislim da se može dokazati preko Šurove nejednakosti. Ovo je samo na prvi pogled, trenutno imam neke druge obaveze tako da ne mogu da se udubljujem, ali čim budem stigao pozabaviću se ovim problemom.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Nejednakost za homogene simetricne polinome 22.05.2005. u 22:40 · pre 261 mesec #3

E, mislim da može ovako mada nisam završio do kraja. Štaviše, čini mi se da je uslov $P(1,1,0)\geq 0$ savršeno nepotreban.

Neka je $P(u,v,w)=2a(u^3+v^3+w^3)+b(u^2v+uv^2+\cdots+v^2w+vw^2)+6cuvw$ . Uslov $P(1,0,0)\geq 0$ daje nam $a\geq 0$ , a iz $P(1,1,1)\geq 0$ zaključujemo $a+b+c\geq 0$ . Razlikujemo 3 slučaja (slučaj kada su $a,b,c>0$ je očigledan).

1) $b,c<0$
$P(u,v,w)=a[3,0,0]+b[2,1,0]+c[1,1,1]\geq -b[3,0,0]-c[3,0,0]+b[2,1,0]+c[1,1,1]\geq 0$ .

2) $b>0, c<0$
$P(u,v,w)=a[3,0,0]+b[2,1,0]+c[1,1,1]\geq a[2,1,0]+b[2,1,0]+c[1,1,1]\geq -c[2,1,0]+c[1,1,1]\geq 0$ .

3) $b<0, c>0$
$P(u,v,w)=a[3,0,0]+b[2,1,0]+c[1,1,1]\geq -b[3,0,0]-c[3,0,0]+b[2,1,0]+c[1,1,1]$ , a ovo mi deluje da može da se istera preko Šura, mada nisam završio.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Nejednakost za homogene simetricne polinome 24.05.2005. u 21:13 · pre 261 mesec #4

U medjuvremenu, ovde sam pronasao dokaz: http://my.netian.com/~ideahitme/tin050525.pdf
Hvala ti u svakom slucaju.

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme