[es] - Rastavljivost polinoma trećeg stepena

Cabo

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.beotel.net.

+5 Profil

Rastavljivost polinoma trećeg stepena

^{13.05.2005. u 20:30 - pre 256 meseci}

Evo, i ja imam jedno pitanje vezano za polinome.
Naime, pripremam Algebru 1, pa me kopka sledeći problem:

Konkretno, interesuje me kako se dokazuje stavka pod a.), da je polinom

nerastavljiv nad poljem racionalnih brojeva. Slučaj pod b.)
mi je jasan, pošto je onda

i minimalni polinom od

, pa je stepen raširenja

. Interesuju me,
pored a.), i v.) i g.).

Hvala unapred,
Cabo

Odgovor na temu

KPYU
Karan Predrag

Član broj: 36769
Poruke: 143
*.nspoint.net.

Profil

Re: Rastavljivost polinoma trećeg stepena

^{14.05.2005. u 01:06 - pre 256 meseci}

Ako želimo da rastavimo ovaj polinom nad Q[x], to znači da želimo da bude

gde su p₁ i p₂ ne-konstantni polinomi iz Q[x]. To znači da jedan od njih mora da bude linearan, a to opet znači da P mora da ima bar jednu racionalnu nulu. Neka je to x₀. Dakle neka je

Tad mora biti

, tj

gde je b broj, a a ceo broj. Sad vidimo da a deli b, i da b deli a. Onda je

Ali

Zaključak: ne postoji racionalna nula, dakle p(x) nije rastavljiv.

Odgovor na temu

milicas
milica stankovic
beograd

Član broj: 58370
Poruke: 35
*.r62.logikom.net.

Profil

Re: Rastavljivost polinoma trećeg stepena

^{16.05.2005. u 17:33 - pre 256 meseci}

Evo malo price oko zadatka pod v) i g)

v)
Neka je

ta realna nula.
Vidimo da

Sad, pitanje je da li je obrnuto?

Svejedno,

je minimalni polinom za

a vazi

Vazi

malo se sredi i zameni

pritom

(jer je

nula polinoma p)
dobije se sistem jednacina:
-a -2b = 1
a + c = 0
-4a - b - c =1
-2a + d =1

kad se resi dobije se

Ja se nadam da je racun dobar, a ako ima logickih gresaka... Javite!

g)
Ovo me posebno interesuje, naci

Da li se moze naci polinom

takav da je

?

I, ako moze, hoce li biti uzajamno prost sa p ?

Jer, posmatrano kao elementi iz prstena

postojace u i v polinomi takvi da vazi

a u i v se odrede Euklidovim algoritmom, i to je to.

Poz

Odgovor na temu

KPYU
Karan Predrag

Član broj: 36769
Poruke: 143
*.nspoint.net.

Profil

Re: Rastavljivost polinoma trećeg stepena

^{16.05.2005. u 22:24 - pre 256 meseci}

Mislim da je ovako lakšije & tačnije

Vidimo da je

Zbog toga je

gde je

Ponavljam

Lako se vidi da je sistem polinoma

linearno nezavisan, i da je sistem

linearno zavisan.

Ovu linearnu zavisnost shvatamo uslovno. Naime lambde shvatamo kao polinome najviše 2 stepena po alfama.

Pokušaću da obrnem proces izražavanje. Dakle alfe preko lambdi:

Na kraju

Ovo je ujedno minimalni polinom, jer ako ne bi bio on, no neki manjeg stepena

Pošto je minimalni polinom za alfu stepena 3, ovo mora biti 0 polinom.

Kao što vidimo dokaz za minimalnost zapisanog polinoma je dokaz o lin nez stepena lambdi preko alfi

btw minimalni polinom je uvek jediničan, tj nemojte ga množiti ikakvim brojem

Odgovor na temu

Cabo

Član broj: 10942
Poruke: 684
195.252.87.*

+5 Profil

Re: Rastavljivost polinoma trećeg stepena

^{18.05.2005. u 14:32 - pre 256 meseci}

Citat:

KPYU:
Tad mora biti

, tj

gde je b broj, a a ceo broj. Sad vidimo da a deli b, i da b deli a. Onda je

Čekaj, valjda je

. Ali zar iz

ne sledi

, odakle imamo

? Kako je odatle

Citat:

KPYU:

Pošto je minimalni polinom za alfu stepena 3, ovo mora biti 0 polinom.

(...)

btw minimalni polinom je uvek jediničan, tj nemojte ga množiti ikakvim brojem

Odnosno, ovaj polinom drugog stepena nije nula polinom za

, jer bi inače bio „minimalniji“ od minimalnog polinoma za

. I, minimalni polinom je moničan.

Odgovor na temu

KPYU
Karan Predrag

Član broj: 36769
Poruke: 143
*.nspoint.net.

Profil

Re: Rastavljivost polinoma trećeg stepena

^{18.05.2005. u 20:44 - pre 256 meseci}

OK formalisto

Neka je rešenje jednačine

razlomak

gde je NZD(a,b)=1.

Dakle imamo

Međutim NZD(a, b)=1, te postoje p i q (celi brojevi) takvi da je ap+bq=1 , tj bq=1-ap, tj.

te vidimo da je

Analogno tome b|1, te najzad

Na kraju bih dodao

Neka je

Tada

U pitanju je teoremica koja se radi u srednjoj školi (bar bi trebala da bude tada rađena^*), koja se, za pitanja pismenog iz algebre, može koristiti bez dokaza

^* Tj ja sam je radio i kao učenik i kao profesor

Odgovor na temu

Cabo

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.beotel.net.

+5 Profil

Re: Rastavljivost polinoma trećeg stepena

^{19.05.2005. u 17:52 - pre 256 meseci}

Citat:

KPYU: OK formalisto

Profesionalna deformacija.

Citat:

KPYU:
U pitanju je teoremica koja se radi u srednjoj školi (bar bi trebala da bude tada rađena^*), koja se, za pitanja pismenog iz algebre, može koristiti bez dokaza

^* Tj ja sam je radio i kao učenik i kao profesor

Da. Ključna reč: trebalo.

Hvala na pomoći.

Srdačno,
Cabo

Odgovor na temu

Cabo

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.beotel.net.

+5 Profil

Re: Rastavljivost polinoma trećeg stepena

^{22.05.2005. u 20:19 - pre 256 meseci}

Citat:

milicas:
g) Ovo me posebno interesuje, naci

Evo, našao sam rešenje pod g.). Važi:

odakle je:

Što je traženi broj

Odgovor na temu