Pomoc - teorija grupa

Pomoc - teorija grupa 15.05.2005. u 19:58 · pre 261 mesec #1

Ako neko moze da pomogne, bilo bi lepo. Malo se mucim oko nekih detalja:

Red grupe G je $495 (3^{2}*5*11)$ i u njoj postoji bar jedan element reda 9. Dokazati da G nije prosta (ima netrivijalnu normalnu podgrupu)

Dakle, teoreme Silova,
postoji H $\leq$ G reda 9, ima ih jedna ili 55
postoji K $\leq$ G reda 5, ima ih jedna ili 11
postoji L $\leq$ G reda 11, ima ih jedna ili 45

Sad, u prvom slucaju ako je H jedina ili K jedina ili L jedina sve je o.k.
U drugom, tj 55 H-ova, i 11 K-ova i 45 L-ova:
K-ovi i L-ovi se medjusobno seku po neutralu
a sta je sa H-ovima? Jasno je da su sve izomorfne sa $Z_9$ ali kako se seku?

Re: Pomoc - teorija grupa 16.05.2005. u 01:33 · pre 261 mesec #2

H-ovi NE MORAJU biti izomorfni $Z_9$ , već mogu biti izomorfni i $Z_3^2=Z_3 \times Z_3$

Što se preseka 2 različite grupe reda 9 tiče, može biti trivijalan ili reda 3, što će reći izomorfan $Z_3$

Re: Pomoc - teorija grupa 16.05.2005. u 16:20 · pre 261 mesec #3

Ali G ima el. p reda 9 neka je on u $H_1$

Neka je $H_2$ izomorfna $Z_3 \times Z_3$
Vazi da su Silovljeve podgrupe istog reda medjusobno konjugovane, tj:
$\exists a \in G : H_2 = a^{-1}*H*a$
$\Rightarrow \exists q \in H_2 : q = a^{-1}*p*a$
A inace vazi da je $\omega (q) = \omega (a^{-1}*p*a) = \omega (p)$
Dakle red od q je devet sto je nemoguce
$\Rightarrow$ sve su izomorfne $Z_9$

Mozda gresim?

Konkretno u ovom zadatku mogu samo da se prebroje elementi iz K-ova i L-ova, i dobije se tacno red G, ali negde je bas potrebno naci presek nekoliko podgrupa izomorfnih sa $Z_{p^{2}}$ gde je p prost

Re: Pomoc - teorija grupa 17.05.2005. u 16:51 · pre 261 mesec #4

Pogledaj grupu $Z_6\times Z_3$ njen red je 18. Deder nađi mi neku njenu podgrupu izomorfnu sa $Z_9$

Ako imaš jednu, sve su takve. Ako nemaš ni jednu ...

U svakom slučaju, presek 2 različite grupe reda pⁿ (p-prost broj) je grupa reda p^k gde je $0\le k<n$

Re: Pomoc - teorija grupa 18.05.2005. u 16:07 · pre 261 mesec #5

Citat:

milicas: Ali G ima el. p reda 9 neka je on u $H_1$

Neka je $H_2$ izomorfna $Z_3 \times Z_3$
Vazi da su Silovljeve podgrupe istog reda medjusobno konjugovane, tj:
$\exists a \in G : H_2 = a^{-1}*H*a$
$\Rightarrow \exists q \in H_2 : q = a^{-1}*p*a$
A inace vazi da je $\omega (q) = \omega (a^{-1}*p*a) = \omega (p)$
Dakle red od q je devet sto je nemoguce
$\Rightarrow$ sve su izomorfne $Z_9$

Mozda gresim?

$G$ ima element reda $9$ .

$\input amstex $\Longrightarrow \Bigl|\bigl\{x\mid\omega(x)=9\bigr\}\Bigr|\geq1$ $\Longrightarrow \exists a\in G\quad\omega(a)=9$ $\Longrightarrow \exists \langle a\rangle=H\in S_3\quad H\cong{\bold Z}_9$ \bye$

To znači samo da postoji jedna grupa izomorfna ${\rm\bold Z}_9$ , a ne da su sve takve.

Re: Pomoc - teorija grupa 18.05.2005. u 18:57 · pre 261 mesec #6

Videla sam u ovogodisnjim vezbama iz algebre 1 da su bas za ovaj zadatak sve reda 9 ciklicne, ali nazalost, nema dokaza (ovaj odavde je moj). Jbg, valjda oni znaju bolje

Re: Pomoc - teorija grupa 18.05.2005. u 19:44 · pre 261 mesec #7

Možda su u pravu, a možda i nisu (nema dokaza).

Evo kako bih ja uradio ovaj zadatak:

Pretpostavimo da $G$ nije prosta, pa $1\not\in\{s_3,s_5,s_{11}\}$ . Biće:

$\input amstex \def\sledi{\;\Longrightarrow\;} $$\split s_3\in\{1,55\};&\quad s_3\neq1\sledi s_3=55,\\ s_5\in\{1,11\};&\quad s_5\neq1\sledi s_5=11,\\ s_{11}\in\{1,45\};&\quad s_{11}\neq1\sledi s_{11}=45. \endsplit$$ \bye$

Sada imamo dve mogućnosti:

1)

$\forall H_i, H_j\in S_3\quad |H_i\cap H_j|=1$

Tada je

$\input amstex $$\multline \Bigl|\bigl(\bigcup_{H\in S_3}H\bigr)\cup\bigl(\bigcup_{K\in S_5}K\bigr)\cup\bigl(\bigcup_{L\in S_{11}}L\bigr)\Bigr|=\\ =55\cdot(9-1)+11\cdot(5-1)+45\cdot(11-1)+1=\\ =440+44+450+1=935>495=|G| \endmultline$$ \bye$

(kontradikcija).

2)

$\forall H_i, H_j\in S_3\quad |H_i\cap H_j|=3$

Tada je

$\input amstex $$\multline \Bigl|\bigl(\bigcup_{H\in S_3}H\bigr)\cup\bigl(\bigcup_{K\in S_5}K\bigr)\cup\bigl(\bigcup_{L\in S_{11}}L\bigr)\Bigr|=\\ =55\cdot(9-3)+(3-1)+11\cdot(5-1)+45\cdot(11-1)+1=\\ =332+44+450+1=827>495=|G| \endmultline$$ \bye$

(kontradikcija). Ovde je $(3-1)$ zato što se svake dve $H_i$ , $H_j$ seku po $3$ elementa, od kojih odbacujemo neutral, koji je sadržan u svim $S_p$ -podgrupama grupe $G$ . Njega, kao i u slučaju 1), dodajemo na kraju.

Zaključak: mora biti $1\in\{s_3, s_5, s_{11}\}$ .

E, sad, ono što meni ovde „bode oči“ jeste to da uopšte nisam iskoristio podatak da postoji $S_3$ -podgrupa izomorfna ${\rm\bold Z}_9$ . Da li se u tom zadatku još nešto traži?

Re: Pomoc - teorija grupa 19.05.2005. u 01:21 · pre 261 mesec #8

@milicas

Ne znam što toliko insistiraš na nečemu što nije tačno, a uz to nigde ni ne koristiš.

$Z_3 ^2=\{(a,b)|a\in Z_3,b\in Z_3\}$ je grupa koja, evidentno, nije ciklična.

@ Cabo
Mada sam zahrđao pomalo, zar ne bi iz konjugovanosti podgrupa trebalo da sledi da su sve ciklične, ako je makar jedna ciklična. (Moguće da lupam)
Takođe, u dokazu si koristio kao činjenicu da se svih 55 podgrupa reda 9 seče po istoj podgrupi reda 3. To tako baš i nije. Treba izračunati broj podgrupa reda 3 (to nisu Silovljeve podgrupe), pa odatle računati. Najzad, ako u b) imaš više elemenata no što možeš, onda pod a) svakako imaš još više elemenata, tako da pod a) nisi ni trebao da računaš.

Re: Pomoc - teorija grupa 19.05.2005. u 19:50 · pre 261 mesec #9

Citat:

KPYU: Mada sam zahrđao pomalo, zar ne bi iz konjugovanosti podgrupa trebalo da sledi da su sve ciklične, ako je makar jedna ciklična. (Moguće da lupam)

Možeš li ovo malo da elaboriraš?

Citat:

KPYU:
Takođe, u dokazu si koristio kao činjenicu da se svih 55 podgrupa reda 9 seče po istoj podgrupi reda 3. To tako baš i nije. Treba izračunati broj podgrupa reda 3 (to nisu Silovljeve podgrupe), pa odatle računati. Najzad, ako u b) imaš više elemenata no što možeš, onda pod a) svakako imaš još više elemenata, tako da pod a) nisi ni trebao da računaš.

Kako izračunati broj podgrupa reda 3?

Naravno da je suštinski ispitivanje slučaja 1) nepotrebno, ali zato na ispitu (bar na MATF-u) jeste potrebno sve to ispisati... analogno tome, ukoliko je ovaj ekstremni slučaj kada se sve $S_3$ -podgrupe seku po podgrupi reda 3 (ova formula ne govori da je to ista podgrupa, već samo da svi preseci imaju po 3 elementa) kontradiktoran, zar onda nisu i ostali „prelazni“ slučajevi kontradiktorni?

Re: Pomoc - teorija grupa 20.05.2005. u 06:47 · pre 261 mesec #10

Redom
1. Sve Silovljeve podgrupe su konjugovane.
2. Ako je b konjugat od a tada $\omega(a)=\omega(b)$
3. Ako je H₁ generisana elementom a i $c^- * a*c=b$ , tada je $c^- * H_1*c=H_2$ generisana elementom b

Dakle ako je H₁ ciklična, to je i svaka njoj konjugovana grupa, a to su sve grupe istog reda

Dalje postoji Silovljeva teorema koja nam, za datu grupu reda n $n=m\cdot p^k$ gde p-prost i $\neg (p|m)$ govori broj podgrupa reda p^r ( $1\le r\le k$ ).

Najzad, na algebri I ima pametnih ljudi (bar ih je bilo dok sam ja studirao), mada ne znam ko je tebi bio asistent. Ti pametni ljudi će shvatiti kad napišeš "...a trivijalno se pokazuje da je ovo kud i kamo više nego u drugom slučaju"

PS Mada nije iz ove teme, vidim da si mi skrenuo pažnju na gramatičku grešku. Imam opravdanje: bio sam jako umoran dok sam pisao poruku.

Re: Pomoc - teorija grupa 20.05.2005. u 10:49 · pre 261 mesec #11

Konjugacija podgrupa je istovremeno i njihov izomorfizam, dok je konjugacija u grupi automorfizam te grupe. Takvi automorfizmi grupe se još zovu unutrašnji. Ako je $G$ grupa, i za $a\in G$ sa $\phi_a$ označimo unutrašnji automorfizam grupe $G$ definisan sa $\phi_a(x)=a\,x\,a^{-1}$ , onda skup $Inn(G)=\{\phi_a\,:\,a\in G\}$ čini grupu odnosu na slaganje funkcija i pritom važi $Inn(G)\leqslant Aut(G)$ i $Inn(G)\cong G/Z(G),$ gde je $Z(G)=\{a\in G\,:\,(\forall x\in G)(ax=xa)\}$ centar grupe $G.$ Centar grupe je uvek i njena normalna podgrupa, tako da je količpnička grupa $G/Z(G)$ dobro definisana.

Zaključak, ako je jedna Silovljeva p-podgrupa grupe G ciklična, onda su i sve ostale Silovljeve p-podgrupe ciklične, budući da su sve one međusobno izomorfne kao konjugovane.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc - teorija grupa 22.05.2005. u 21:25 · pre 261 mesec #12

Citat:

KPYU:
Dalje postoji Silovljeva teorema koja nam, za datu grupu reda n $n=m\cdot p^k$ gde p-prost i $\neg (p|m)$ govori broj podgrupa reda p^r ( $1\le r\le k$ ).

Da, čitam sada teoriju i vidim da važi $s_p=1+ph$ gde je $s_p$ broj grupa reda $p^s\leq p^r$ , a $r_p$ broj grupa reda $p^r$ . U svesci iz koje sam vežbao se sa $s_p$ označava samo broj grupa reda $p^r$ . Pa, kako onda, da li se $s_p$ računa slično kao $r_p$ ? Dakle, $s_p|n\;\wedge\;s_p=1\;({\rm mod}\;p)$ ? Kako se razlikuje računanje $s_p$ od računanja $r_p$ ?

Citat:

KPYU:
Najzad, na algebri I ima pametnih ljudi (bar ih je bilo dok sam ja studirao), mada ne znam ko je tebi bio asistent. Ti pametni ljudi će shvatiti kad napišeš "...a trivijalno se pokazuje da je ovo kud i kamo više nego u drugom slučaju"

Dobro, ja sam samo poučen iskustvom sa Analize I (koga su zmije ujedale...

).

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme