Zadacic iz geometrije

Tekst je sledeci:

Date su cetri razlicite tacke na kruznici A, B, C, D u ovom redosledu. Ako se znaju razdaljine AC, BC, AD, BD treba naci CD.

Prvo sto se uoci da je cetvorougao koji obrazuju ove tacke tangentni, zatim se mogu primeniti Heronove formule, sinusna , kosinusna teorema, medjutim kako god radio dobijem jednacine sa 4, 5 stepena sa 30-ak clanova koje treba skratiti itd. Posto je to ocigledno glup nacin, jer problem ne deluje toliko tezak, jel ima neko neku ideju kako da se efikasno resi ovaj problem ?
Hvala unapred!

Potpis

Nista na vrat, na nos, ni na svoju ruku

Pomenuti četvorougao nije tangentan nego tetivan, a za njega važi Ptolomejeva teorema.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

lapsus calami

Potpis

Nista na vrat, na nos, ni na svoju ruku

Evo uradio sam ga sinoc. Koristi se osobina da su periferijski uglovi nad istom tetivom jednaki i kosinusna teorema (nikako Heronove formule kako se iscimah prvog puta):

<DAC i <CBA su periferijski nad CD koja se trazi, tako da mozemo da ih oznacimo npr, sa β jer su jednaki; onda vazi po kosinusnoj teoremi

CD^2 = BD^2 + BC^2 - 2*BC*BD*cos β;
CD^2 = AD^2 + AC^2 - 2*AD*AC*cos β;

sto je sistem od dve jedn. i dve nepoznate koji se lako resava
(to je taj nacin, ako sam napravio neku gresku u kucanju ignorisite)

Potpis

Nista na vrat, na nos, ni na svoju ruku

Ptolomejeva teorema.

Ukoliko je ABCD tetivni 4-ugao, kome su dijagonale AC i BD tada je

Kad ste vec spomenuli Prolomejevu teoremu postoji njeno uopstenje: Casey theorem koja kaze:

Ako imamo cetiri kruga (1, 2, 3, 4) koji svi dodiruju neki krug K, i to bas redom 1, 2, 3, 4, onda je

gde je zajednicka tangenta krugova x i y, i to spoljasnja ako su sa iste strane kruznice K, a unutrasnja ako su su razlicitih.

Ptolomejve je specijalan slucaj Casey gde su krugovi tacke.

Potpis

Math is like love. A simple idea but it can get complicated.

Da dodam još dva uopštenja Ptolomejeve teoreme:

1) Fuhrmann's Theorem

Za konveksan tetivan šestougao važi:


2) Tweedie's Theorem

Neka su data dva direktno slična trougla i i neka je njihov odnos stranica . Tada se od duži , i može sastaviti trougao koji je degenerisan (tj. pretvoren u duž) akko centar rotacione homotetije koja slika u leži na kružnicama opisanih oko ovih trouglova.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Ovo za sestougao nisam znao, prilicno zgodna stvarcica. Jel postoji neko uopstenje za pravilan tetivni 2n-tougao, posto se on aproksimativno moze smatrati krugom ?

Potpis

Nista na vrat, na nos, ni na svoju ruku