1. zadatak
Resiti u skupu realnih brojeva R jednacinu:
(n je verovatno celi broj)
Resenje:
Treba uociti da su jedine mogucnosti n=1 ili n=2 (za n>2 jedan od sabiraka je sigurno veci od 8).
Zamenom ovih vrednosti za n lako se dobijaju sva resenja.
2. zadatak
Polinom
ima 3 razlicite realne nule, dok polinom P(Q(x)) nema realnih nula gde je
. Dokazati da je P(2005) > 1.
Resenje:
Neka su x1, x2 i x3 realne nule polinoma P(x). Tada vazi:
P(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3).
P(Q(x)) = (Q(x) - x1)(Q(x) - x2)(Q(x) - x3)
Realne nule polinoma P(Q(x)) su sve nule polinoma Q(x) - xi, i = 1, 2, 3. Kako P(Q(x)) nema realnih nule, nijedan od ova tri polinoma ih takodje nema (ovo je ekvivalencija).
To znaci da polinomi
nemaju realnih nula. Ili drugim recima (gledamo znak determinante):
.
Sada dobijamo:
P(2005) = (2005 - x1)(2005 - x2)(2005 - x3)
Svi cinioci su veci od jedinice, iz cega zakljucujemo da je P(2005) > 1.
2 zadatka sa federalnog takmicenja
Re: 2 zadatka sa federalnog takmicenja
