Zadatak iz Furijeovih redova

Kad već niko nije odgovorio...

Posmatrajmo vektorski prostor sa skalarnim proizvodom.(tzv pred-Hilbertov prostor)
Neka je zadat sistem ortogonalnih vektora $v_1, v_2,\dots ,v_n$
Tad je projekcija vektora f na $\Omega [v_1, v_2,\dots ,v_n]$ jednaka vektoru
$F_f=\sum_{n=1}^{\infty} {\frac {<f,v_i>}{<v_i,v_i>}}v_i$

Ovde imamo skalarni proizvod $<w_1,w_2>=\int _0^{2\pi} w_1(x)w_2(x)dx$
i ortogonalne vektore 1, cos x, cos 2x, ...cos nx,... sin x, sin 2x,... sin nx,....
Posmatrajmo ortogonalnu projekciju vektora (f-je) $f=\frac {\pi -x}{2}$ .
Pošto znamo <1, 1>=2 $\pi$ , <cos nx, cos nx>= $\pi$ =<sin nx, sin nx>
dobijamo
$F_f=a_0+a_1 cos x+\dots a_n cos nx+\dots+b_1 sin x+\dots b_n sin nx+\dots$
gde je
$a_0={1\over {2\pi}} \int_0^{2\pi} f(x)dx$
$a_n={1\over {\pi}} \int_0^{2\pi} f(x) cos (nx) dx (n>0)$
$b_n={1 \over {\pi}} \int_0^{2\pi} f(x) sin (nx) dx (n>0)$

Pošto je $f(2\pi -x)=-f(x)$ imamo $a_0=a_1=\dots =a_n =0$
$b_n={2 \over {\pi}} \int_0^\pi f(x) sin (nx) dx=\dots =2/n$

Dakle $F_f = 2\sum_{n=1}^{\infty} {\frac {sin nx}{n}}$

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme