Citat:
rivan:
Jedan zadacic sa ispita juce:
Ako se zbir cifara broja ne menja kada se broj pomnozi sa 5 tada je taj broj deljiv sa 9. Dokazati.
Ima jedno kratko i jedno dugaaacko resenje :)
Aj da probam.
Neka su $ a_i $ cifre datog broja.
Tada je vrednost broja $ \sum a_i 10^i $, a zbir cifara $ \sum a_i $.
Kada pomnozimo broj sa 5, dobijamo:
$ 5 \sum a_i 10^i = 10/2 \sum a_i 10^i = \sum (a_i/2) 10^{i+1} $.
medjutim $ \sum a_i/2 $ nije zbir cifara novodobijenog broja zato sto neke cifre nisu parne pa se ne mogu podeliti sa 2. Zbog toga treba 'korigovati' ovu sumu.
Uocimo neparnu cifru $a_k/2$ na poziciji $k$. Kada se ona podeli sa
dva, dobije se ceo deo plus 1/2. Ovu polovinu 'premotamo' u prethodnu
cifru, $a_{k-1}$, cime smo vrednost $a_k/2$ smanjili za 1/2 a vrednost
prethodne cifre povecali za 5.
Ukupan efekat na zbir cifara je $-1/2+5 = 4.5$. Pritom prethodna cifra
(nije korigovana!) mora biti manja od 10 jer je najveca moguca stara
vrednost 9 a najveca moguca nova $9/2+5 < 10$.
Neka ne $K$ broj ovakvih 'korekcija' koje treba da se
izvrse.
Elem, dobijete da je zbir cifara novog broja $ \sum a_i/2 + 4.5K $, a
to je sve jednako polaznom zbiru cifara, prema uslovu zadatka.
Dakle:
$ 1/2 \sum a_i + 4.5K = \sum a_i $
iz cega se dobija:
$ \sum a_i = 9K $
dakle, zbir cifara broja je deljiv sa 9, odn. broj je deljiv sa 9.
poz.
Teorija brojeva
Registrovani: 2 ( Nebojsa Milanovic, vjova )
