Evo još malo zanimacije

Evo još malo zanimacije 17.09.2026. u 18:43 · pre 57 dana i 3h #1

(a) Pokazati da, ako je redukcija moničnog polinoma $f(X) \in \mathbb Z[X]$ po modulu prostog broja $p$ nerastavljiv polinom u $\mathbb F_p[X]$ , tada je $f(X)$ nerastavljiv u $\mathbb Q[X]$ .
(b) Pokazati da ako monični polinom $f(X) \in \mathbb Z[X]$ ima redukcije po modulu dva prosta broja $p$ i $q$ takve da je $f(X) (\bmod p)$ proizvod dva nerastavljiva faktora stepena $d_{1p},d_{2p}$ i $f(X) (\bmod q)$ proizvod dva nerastavljiva faktora stepena $d_{1q},d_{2q}$ i $\{d_{1p},d_{2p}\} \neq \{d_{1q},d_{2q}\}$ , tada je $f(X)$ nerastavljiv u $\mathbb Q[X]$ .
(v) Koristeći (a) ili (b) pokaži da su sledeći polinomi nerastavljivi u $\mathbb Q[X]$ :
(v1) $X^4+X+1$ ;
(v2) $X^5+X^2+1$ ;
(v3) $X^4+3X+4$ ;
(v4) $X^5+3X+1$ ;
(v5) $X^6+5X^2+X+1$ ;
(v6) $X^7+X^4+X^2+1$ .

Potpis

Kada budemo vešali kapitaliste oni će nam prodati uže koje ćemo koristiti za vešanje.

Josif Visarionovič Džugašvili

Re: Evo još malo zanimacije 18.09.2026. u 17:00 · pre 56 dana i 5h #2

Za (v) su nepotrebni (a) ili (b).
Rešava se direktno.

Re: Evo još malo zanimacije 18.09.2026. u 17:36 · pre 56 dana i 5h #3

Voleo bih da vidim, kreni redom.

Potpis

Kada budemo vešali kapitaliste oni će nam prodati uže koje ćemo koristiti za vešanje.

Josif Visarionovič Džugašvili

Re: Evo još malo zanimacije 18.09.2026. u 19:36 · pre 56 dana i 3h #4

Osobine racionalnih nula polinoma.

Za v1 do v6 ( bez v3) kandidatu su samo 1 ili -1.
Pošto oni nisu nule polinoma, onda on nema racionalne nule.

Za v3 kandidati su 1, -1, 2, -2, 4 i -4.
Zaključak je isti.

Re: Evo još malo zanimacije 18.09.2026. u 20:45 · pre 56 dana i 1h #5

Malo si pomešao rastavljivost i egzistenciju nula. Polinom ne mora imati nule u polju $\mathbb F$ da bi bio rastavljiv u $\mathbb F[X]$ .

Na primer: $X^4+5X^2+6=(X^2+2) \cdot (X^2+3)$ je očigledno rastavljiv na $\mathbb Q[X]$ , ali nema nule u $\mathbb Q$ .

Ti si za navedene pokazao da nemaju linearne faktore, ali ne i nerastavljivost.

Potpis

Kada budemo vešali kapitaliste oni će nam prodati uže koje ćemo koristiti za vešanje.

Josif Visarionovič Džugašvili

Re: Evo još malo zanimacije 18.09.2026. u 23:41 · pre 55 dana i 22h #6

Preciznije, to kako si zamislio može za polinome stepena 2 ili 3. Za polinome stepena većeg od 3, ne mora da važi.

Potpis

Kada budemo vešali kapitaliste oni će nam prodati uže koje ćemo koristiti za vešanje.

Josif Visarionovič Džugašvili

Re: Evo još malo zanimacije 19.09.2026. u 12:22 · pre 55 dana i 10h #7

Razumem šta sam pomešao.

Pod (a) mi nije jasno šta su elementi
skupa Fp[X] ?
Polinomi čiji su koeficijenti prosti brojevi ili polinomi stepena p čiji su koeficijenti celi brojevi? Ili nešto treće.

Re: Evo još malo zanimacije 19.09.2026. u 14:11 · pre 55 dana i 8h #8

Prsten polinoma na $F_p$ .

Potpis

Kada budemo vešali kapitaliste oni će nam prodati uže koje ćemo koristiti za vešanje.

Josif Visarionovič Džugašvili

Re: Evo još malo zanimacije 19.09.2026. u 14:57 · pre 55 dana i 7h #9

(v2) Neka je $f(X) \in \mathbb Z[X]$ , $f(X)=X^5+X^2+1$ . Posmatrajmo redukciju datog polinoma po modulu $2$ . Imamo da je $\bar f(X)=X^5+X^2+1$ . Očigledno, polinom nema nule u $\mathbb F_2$ , $\bar f(0)=\bar f(1)=1$ , odnosno nema linearne faktore. Možemo da pokušamo da ga rastavimo na proizvod dva polinoma stepena $2$ i $3$ . Jedini monični nerastavljivi polinom stepena $2$ u $\mathbb F_2$ je $X^2+X+1$ , a monični nerastavljivi stepena $3$ su: $X^3+X^2+1$ i $X^3+X+1$ . Sada množimo, postoje dve mogućnosti:
$(X^2+X+1) \cdot (X^3+X^2+1)=...=X^5+X+1$
$(X^2+X+1) \cdot (X^3+X+1)=...=X^5+X^4+1$
Očigledno, $\bar f(X)$ nije rastavljiv u $\mathbb F_2[X]$ , pa zaključujemo po (a) da ni $f(X)$ nije rastavljiv u $\mathbb Q[X]$ .

Potpis

Kada budemo vešali kapitaliste oni će nam prodati uže koje ćemo koristiti za vešanje.

Josif Visarionovič Džugašvili

Re: Evo još malo zanimacije 19.09.2026. u 16:07 · pre 55 dana i 6h #10

Citat:

Brazorf Ajeje:
Prsten polinoma na $F_p$ .

Za p=7 taj skup čine polinomi sa koeficijentima iz Z7?
Brojevi od 0 do 6.

Re: Evo još malo zanimacije 19.09.2026. u 16:37 · pre 55 dana i 5h #11

Da.

Potpis

Kada budemo vešali kapitaliste oni će nam prodati uže koje ćemo koristiti za vešanje.

Josif Visarionovič Džugašvili

Re: Evo još malo zanimacije 19.09.2026. u 17:09 · pre 55 dana i 5h #12

(v4) Neka je $f(X) \in \mathbb Z[X]$ , $f(X)=X^5+3X+1$ . Posmatrajmo redukciju datog polinoma po modulu $2$ . Imamo da je $\bar f(X)=X^5+X+1$ . Ako posmatramo primer (v2), uočavamo da se polinom $\bar f(X)=X^5+X+1, \bar f(X) \in \mathbb F_2[X]$ rastavlja kao proizvod dva nerastavljiva polinoma stepena $2$ i $3$ :
$X^5+X+1=(X^2+X+1) \cdot (X^3+X^2+1)$
Posmatrajmo sada redukciju datog polinoma po modulu $3$ . Imamo da je $\bar f(X)=X^5+1$ . Imamo da važi $\bar f(0)=1,\bar f(1)=2,\bar f(2)=0$ . Pošto je $-2 \equiv 1 (\bmod 3)$ možemo pisati:
$X^5+1=(X+1) \cdot (X^4+aX^3+bX^2+cX+1)$
Posle množenja i izjednačavanja koeficijenata dobijamo sistem, čijim rešavanjem dolazimo do $a,b,c$ . Dobijamo da je $a=2,b=1,c=2$ , odnosno:
$X^5+1=(X+1) \cdot (X^4+2X^3+X^2+2X+1)$
Ostaje nam samo da proverimo da li je $\bar g(X)=X^4+2X^3+X^2+2X+1$ rastavljiv u $\mathbb F_3[X]$ .
Imamo da važi: $\bar g(0)=\bar g(1)=1,\bar g(2)=2$ . Pošto nema nule u $\mathbb F_3$ , onda nema ni linearne faktore u $\mathbb F_3[X]$ . Ostaje jedino mogućnost da se rastavlja kao proizvod dva nerastavljiva polinoma stepena $2$ . Možemo pisati:
$X^4+2X^3+X^2+2X+1=(X^2+aX+b) \cdot (X^2+cX+d)$
Međutim, posle množenja i izjednačavanja koeficijenata dobijamo sistem koji nema rešenja. Dakle, $\bar g(X)$ je nerastavljiv u $\mathbb F_3[X]$ .
Ovo poslednje smo mogli i drugačije. Jedini monični nerastavljivi u $\mathbb F_3[X]$ stepena $2$ su: $X^2+2X+2,X^2+X+2,X^2+1$ . Međutim:
$(X^2+2X+2) \cdot (X^2+X+2)=X^4+1$
$(X^2+2X+2) \cdot (X^2+1)=X^4+2X^3+2X+2$
$(X^2+X+2) \cdot (X^2+1)=X^4+X^3+X+2$
$(X^2+2X+2)^2=X^4+X^3+2X^2+2X+1$
$(X^2+X+2)^2=X^4+2X^3+2X^2+X+1$
$(X^2+1)^2=X^4+2X^2+1$ .
Ni jedan od ovih proizvoda ne daje $\bar g(X)$ .
Pošto smo redukciju $f(X) \in \mathbb Z[X]$ , $f(X)=X^5+3X+1$ u $\mathbb F_2[X]$ rastavili na proizvod dva nerastavljiva polinoma stepena $2$ i $3$ , a u $\mathbb F_3[X]$ na proizvod dva nerastavljiva polinoma stepena $1$ i $4$ i pošto je $\{2,3\} \neq \{1,4\}$ , zaključujemo po (b) da je $f(X)$ nerastavljiv u $\mathbb Q[X]$ .

Potpis

Kada budemo vešali kapitaliste oni će nam prodati uže koje ćemo koristiti za vešanje.

Josif Visarionovič Džugašvili

Re: Evo još malo zanimacije 19.09.2026. u 23:41 · pre 54 dana i 22h #13

Mala pomoć: koristiti (a) i $p=2$ u (v1), (a) i $p=5$ u (v3), (b) i $p=2,5$ u (v5), (b) i $p=2,3$ u (v6).

Potpis

Kada budemo vešali kapitaliste oni će nam prodati uže koje ćemo koristiti za vešanje.

Josif Visarionovič Džugašvili

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme