Dokažimo tvrđenje formulisano u prethodnim porukama, ako je normalni presek segmenta konveksan centralnosimetričan mnogougao.
Najpre da napomenem kako dobijamo jedan od
n podudarnih poliedara od kojih formiramo poliedarski prsten.
Na osi simetrije prizmatične površi, označimo je sa
o, odaberimo jednu tačku, obeležimo je sa
O, a onda u toj tački postavimo ravan
normalnu na osu
o. Neka je
m mnogougao – presek ravni
i prizmatične površi, odnosno prizmatičnog prostora. Tačka
O je centar simetrije tog mnogougla. Od beskonačno mnogo pravih koje pripadaju ravni
i sadrže tačku
O a normalne su na osu
o, uočimo proizvoljnu i obeležimo je sa
s, a na toj pravoj, van prizmatične površi, odaberimo tačku i obeležimo je sa
S. U ravni
određenoj pravama
o i
s, iz tačke
S sa raznih strana prave
s, konstruišezmo dve prave tako da te prave sa pravom
s grade ugao
, a onda na te prave postavimo dve ravni
i
tako da budu normalne na ravan
. Preseke tih ravni sa prizmatičnom površi obeležimo sa
m1 i
m2. Ti preseci su podudarni mnogouglovi koji su centralno simetrični, a centri simetrije su presečne tačke ose
o sa ravnima
i
, tačke
O1 i
O2. Segment odnosno poliedar pomoću kojeg ćemo napraviti poliedarski prsten, je deo prostora koji se nalazi u unutrašnjosti prizmatične površi između mnogouglova
m1 i
m2. Taj poliedar možemo posmatrati i kao uniju bezbroj duži paralelnih sa osom
o čije krajnje tačke pripadaju mnogouglovima
m1 i
m2.
Iz skupa paralelnih pravih koje generišu naveden prizmatičan prostor, odaberimo proizvoljan par pravih koje su osno simetrične u odnosu na osu
o. Duži koje generišu segment a pripadaju uočenim pravama, obeležimo sa
a i
b, a krajnje tačke tih duži sa
A1, A2 i
B1, B2 . Presečne tačke tih duži sa ravni
obeležimo sa
A i B
. Te duži određuju jednakokraki trapez a njegova srednja linija mora da bude na osi simetrije pravih koje sadrže duži
a, b. Prema tome srednja linija tog trapeza je duž
pa je
.
Sa ravni
presecimo uočeni segment na dva podudarna dela. Ako deo segmenta koji sadrži mnogougao
m1, rotiramo oko ose
o za
180o a onda transliramo za vektor
, tačka
A1 će doći na poziciju tačke
B2, a tačka
B1 na poziciju tačke
A2, zato što su mnogouglovi
m1 i
m2 podudarni i centralnosimetrični. Ako sa
A' i
B' obeležimo tačke sa kojima će se poklopiti tačke
A i
B, biće
.
Pošto su osnosimetrične prave na kojima se nalaze duži
a, b odabrane proizvoljno, sledi da je ovakvim premeštanjem jednog dela segmenta dobijena prizma sa bazom
m i visinom jednakom sa
O1 O2. Prema tome ta prizma i uočeni segment imaju jednake zapremine, a takođe jednake površine omotača.
Slično se dokazuje da navedeno tvrđenje važi i ako je normalni presek segmenta nekonveksan centralnosimetričan mnogougao, ili ako je taj presek centralnosimetrična geometrijska figura čija kontura ili delovi konture mogu da budu i krive linije.
Zadatak iz uvodne poruke u ovoj temi možemo rešiti metodom "premeštanja" dela segmenta tako da se dobije jednostavniji poliedar ( u srednjoj školi smo ideju "premeštanja" delova figure koristili uglavnom u planimetriji ), a možemo ga rešiti i direktnom primenom dokazanog tvrđenja ( koje je na neki način uopštenje te ideje).
[Ovu poruku je menjao jans dana 22.07.2025. u 00:56 GMT+1]
Poliedarski prsten
Registrovani: 3 ( MALISA1994, vjova, Living Light )
