Polukružnica i poluprečnik

Zadatak je gromoglasno najavljen kao "ako iko ikad reši" međutim pošto su neki ipak uspeli pojašnjeno je da je to zbog mesta postavljanja a to su društvene mreže, tako da ovde ne bi trebalo da ima većih problema ...

Ima pola kružnice, i unutar je upisana manja kružnica, povučene su dve normale na prečnik veće "polukružnice", manja kružnica dodiruje "sve oko sebe" tj tri duži i luk, normale na prečniku odsecaju delove čije su dužine 4 i 1, a pitanje koje se postavlja je: Koliki je poluprečnik manje, upisane kružnice?

r=5/(2*sqrt(2))

Potpis

Low-level high-standard engineering.

Teško da je to rezultat tačan rezultat .. mslm nije.

Da, da. Vidim gde sam pogresio.

Potpis

Low-level high-standard engineering.

Zadatak nema jednoznačno rešenje.

2r + 1 + x = 4 - x
r=3/2 - x


Onako kako si nacrtao, deluje da je x=0 i da je r=3/2. Mož da bidne al ne mora da znači.

Zadatak ima jednoznačno rešenje, jer manja kružnica dodiruje sve ostalo, u četri tačke, tri linije i luk kružnice.

Dokaži.

Moje rešenje pokazuje da ima više rešenja.

Osim što manja upisana kružnica dodiruje 4 tačke, dve normale odsecaju na prečniku delove koji su dugački 4 i 1 ... Prema tome manja kružnica je jednoznačno određena

Ma nije, vidis da je moja slika drugacija od tvoje.
Postoji beskonacno mnogo upisanih kruznica koje su upisane u vecu i tangentne su na vecu kruznicu i precnik vece kruznice.
Takodje, i ti deovi kruznice koji se odsecaju mogu biti isti.

Da je zadat precnik vece kruznice, bilo bi jendoznacno.
Dokazi tako sto ces izaracunati oi pokazati postupak.

Evo ja sam nacrtao sliku gde je normalna na tangentu koja je zajednicka za obe kruznice na rastojanju x naprecniku vece kruznice mereno od od vertikale manje kruznice na precnik.
Imam komade od 1 i 4 desno i levo od manje kruznice, ali to ne odredjuje jednoznacno manju (a ni vecu) kruznicu.

Osim što manja kružnica dodiruje sve 4 strane, 3 linije i kružnicu, normale na prečnik veće kružnice ih dele po dužini na 4 i 1, a to je ujedno i odnos 4 : 1 , ispod pravilnog luka.

Prema tome jednoznačno ..

Naravno da postoji koliko god hoćeš polukružnica čije normale na prečnik će odseći dva spoljna odsečka u dužinama 4 i 1, ali nisu sve takve da može da se upiše kružnica koja dodiruje dve normale, prečnik, i luk ... kao na slici, levo upisane kružnice ne dosežu do prečnika ili luka, desno ne mogu da dodiruju luk i prečnik a da istovremeno dodiruju obe normale ...



Kad smo već kod slika djoka_I na tvojoj slici si upisao 4 i 1, ali duži pored kojih stoje te brojke deluju više kao da su odnosu 20 : 1

Zadatak nije težak i ima jedinstveno rešenje r=2.

Eh sad baš okruglo 2, je l ima neki postupak tu il se samo kaže?

Napisao sam da zadatak nije težak, to znači da postoji postupak. A taj rezultat može da se proveri. Pošto je rastojanje između normala jednako prečniku male kružnice (vidi sliku u prvom postu), prečnik velike kružnice je 2R=4+4+1, pa možemo konstruisati te kružnice ( može i pomoću Geogebre). Drugi način je pomoću analitičke geometrije. Neka je prečnik veće kružnice na osi x a centar manje kružnice na osi y. Jednačine manje, odnosno veće kružnice su

Ako rešimo ovaj sistem jednačina, utvrdićemo da kružnice imaju jednu zajedničku tačku - dodiruju se ( i ovo može da se proveri pomoću Geogebre).

Na slici koja je u prvom postu (onom kojim si otvorio ovu temu) prečnik veće kružnice se sastoji iz tri duži: prva je dužine 4, druga duž, duž između normala,jednaka je prečniku male kružnice odnosno 2+2, a treća duž je dužine 1.

Najviše što možeš da napišeš je: prečnik velike kružnice je 2R=4+2r+1, jer ti nigde u postavci zadatka nije rečeno da je duž između normala dužine 4.



To je super što se dodiruju, sad još samo manja upisana kružnica treba da dodiruje i prečnik velike, i obe normale, i da normale na prečniku odsecaju delove u dužinama 4 i 1, sve drugo si već rešio :)

Pošto u režimu izmene poruka ne vidim mogućnost citiranja, napominjem da je ova poruka odgovor članu MajorFatal.
Nisi pažljivo pročitao moje poruke. Napisao sam da je rešenje zadatka r=2 ali nisam napisao kako se rešava zadatak. A pošto si posumnjao u rešenje, napisao sam kako može da se proveri da je to stvarno rešenje. Konstruiše se kružnica sa prečnikom 9 i jedan njen prečnik. Onda konstrišemo dve normale na prečnik, jednu na udaljenosti 4 od levog, a drugu na udaljenosti 1 od desnog kraja prečnika. Drugu kružnicu konstruišemo tako da dodiruje normale i prečnik prve kružnice (njen centar je na simetrali duži koja je između normala, a poluprečnik dužine 2). Ona će dodirivati i prvu kružnicu. To može da se odradi sa lenjirom i šestarom, ali je jednostavnije pomoću Geogebre (ili nekog sličnog alata). Napominjem još jednom, to je samo jedna od mogućnosti kako da se proveri da je poluprečnik manje kružnice ( rešenje koje se traži ) dužine 2.
A ako želiš da rešiš zadatak, možeš to uraditi pomoću sličnosti, odnosno korišćenjem potencije tačke u odnosu na kružnicu.
P.S.
Čini mi se da sam ti i ranije savetovao da instaliraš program Geogebra. Besplatan je, jednostavan za korišćenje, možeš ga koristiti na srpskom jeziku. Pomoću njega se jednosavno vrše konstrukcije ( i u prostoru), a može da rešava jednačine, izračuna integrale, ...

Ah mnogo jasnije, jeste rešenje 2, pošto su neki uspeli da reše kako su znali i umeli, posle toga je postavljač zadatka demonstrirao i to što ti spominješ, to jest rešenje istog zadatka, ali bez korišćenja nekih trigonometrijskih funkcija čini mi se .. to sam čuvao da postavim kao nastavak tj. drugi deo ovog zadatka .. ali prvo da neko reši bilo kako ..