Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 02.05.2023. u 07:30 · pre 43 meseca #61

Nizom ekvivalencija je dokazano:

(f(c)-f(a))/(c-a) < (f(b)-f(a))/(b-a)

To ne znači da je f(x)/x rastuća funkcija.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 02.05.2023. u 08:42 · pre 43 meseca #62

Nego šta znači za $a=0$ i $f(a)=0$ ?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 02.05.2023. u 09:38 · pre 43 meseca #63

@BrutalCoin

Dakle, iz nejednakosti

$\frac{\sin(b)}b<\frac{\sin(a)}a<\frac{\tan(a)}a<\frac{\tan(b)}b$

sledi da za svako $b>0$ važi

$0<\frac{\sin(b)}b\leq\lim_{a\to 0+}\frac{\sin(a)}a\leq\frac{\tan(b)}b<\infty$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 02.05.2023. u 09:45 · pre 43 meseca #64

Za a=0 i ako je f(0)=0, znači da je rastuća.
Za neko drugo a ne znači ništa.
Ako f(0) nije nula, takođe ne znači ništa.

Pošto je tg(0)=0, može se primeniti.

Kada smo dokazali da traženi limes postoji, kako dokazujemo da je = 1?

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 02.05.2023. u 18:14 · pre 43 meseca #65

$\sin(0)=\tan(0)=0$ , pa iz konkavnosti funkcije $\sin$ i konveksnosti funkcije $\tan$ sledi da je $x\mapsto\sin(x)/x$ opadajuća, a $x\mapsto\tan(x)/x$ rastuća funkcija.
Monotone funkcije imaju limes u nuli sa desne strane. Pokazao sam kako se izvodi da je taj limes pozitivan i konačan.

Ako uglove meriš u stepenima, a ne u radijanima, onda taj limes nije jednak 1. Međutim, moguć je izbor funkcije mere ugla (koja je određena jednoznačno do na multiplikativnu konstantu), tako da taj limes bude jednak jedinici.

Za takav izbor funkcije mere ugla važi da je $(\sin(x))'=\cos(x)$ i $(\cos(x))'=-\sin(x)$ , pa je brzina tačke $t\mapsto(\cos(t),\sin(t))$ konstantno jednaka jedinici, odakle sledi da je ta funkcija mere ugla jednaka meri ugla u radijanima.

Edit: $x\matsto\tan(x)/x$ promenjeno u $x\mapsto\tan(x)/x$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 03.05.2023. u 06:07 · pre 43 meseca #66

Svi prethodni navedeni metodi dokazivanja "padaju u vodu" jer se pozivaju na izvod sin' = cos.

Ti sad napišeš da važi (sin(x))' = cos(x)

Šta je onda u tvom izvodjenju dokaza novo kad smo i za (sada već klasičan) geometrijski metod polazili od te iste pretpostavke ((sin(x))' = cos(x)) a zatim taj metod dokazivanja odbacivali upravo zbog te (nedokazane) pretpostavke?

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 03.05.2023. u 09:13 · pre 43 meseca #67

Ne poziva se nigde u dokazu na izvod.

Kada prihvatimo da je limes = 1, dokazuje da je mera ugla bila u radijanima a ne u stepenima ili gradijanima.
Koristi vektor brzine, da bi dokazao radijane. A brzina je prvi izvod radijus vektora.

Za mene je dokaz korektan.

Još samo da dokažem konveksnost za tg(x).
Nije baš trivijalno kao dokaz konkavnosti za sin(x), ali je rešivo.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 03.05.2023. u 10:13 · pre 43 meseca #68

Citat:

Za takav izbor funkcije mere ugla važi da je (sin(x))' = cos(x) i (cos(x))' = -sin(x), pa je brzina tačke konstantno jednaka jedinici

Prvo ima izvod "pa" na osnovu toga zaključuje da je brzina konstantno jednaka jedinici.

Zar to nije korišćenje izvoda?

Mislim, ono, nismo ni morali da potežemo Jensenove nejednakosti nago odmah, du - "imamo takvu meru ugla za koju je brzina konstanto jednaka jedinici!"

Onda samo još da odgonetnemo kako smo izabrali baš takvu funkciju?
Trial & error?

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 03.05.2023. u 11:00 · pre 43 meseca #69

Kada bi ugao x merili u stepenima, onda bi rezultat limesa bio pi/180, a ne 1.

Kada bi ugao x merili u gradijanima, onda bi rezultat limesa bio neki treći broj.
Ne znam koji, jer ne znam definiciju gradijana.

Nedeljko je dokazao da je rezultat limesa konstanta veća od 0 i manja od beskonačnosti.

Ako prihvatimo da je limes 1, onda tražimo meru ugla.

Može i obrnuto.

Mislim da je sve korektno.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 03.05.2023. u 14:32 · pre 43 meseca #70

Preko dužine upisanih tetiva.

Preko kosinisne teoreme se lako dokaže da je dužina tetive BD jednaka 2*sin(x/2).

Ako kružni luk podelimo simetralom ugla x, dobijemo dve upisane tetive čiji je zbir 4*sin(x/4).
Posle sledeće podele uglova x/2 simetralama imamo 4 tetive čiji je zbir jednak 8*sin(x/8).

Posle n-1 iteracije imamo da je zbir tetiva jednak 2^n*sin(x/(2^n)).

Kada pustimo da n teži u beskonačno, intuitivno, zbir tetiva teži dužini kružnog luka x.

To jest 2^n*sin(x/(2^n)) teži x.

Odatle sin(x/(2^n)) teži ka x/(2^n), što je i dokaz traženog limesa.

Luk.jpg8.58k

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 03.05.2023. u 15:17 · pre 43 meseca #71

Mera ugla se može odabrati tako da važi $\lim_{x\to 0+}\frac{\sin(x)}x=1$ , a odatle se lako izvode obrasci za izvode sinusa i kosinusa za istu tu meru ugla.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 03.05.2023. u 16:27 · pre 43 meseca #72

Da ne petljam sa simetralama.

BD = 2*sin(x/2) < x

Da li može da se prihvati da kada x teži nuli da dužina tetive BD teži ka x?

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 03.05.2023. u 20:56 · pre 43 meseca #73

Ne može jer je x promenljiva iz graničnog procesa. Verovatno si mislio da količnik te dve veličine teži jedinici. Opet, to zavisi od izbora funckije mere ugla.

Moguć je i pristup sa površinama, ali onda ima drugih stavova koje treba dokazati.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 04.05.2023. u 11:48 · pre 42 meseca #74

Citat:

miki069

Kada bi ugao x merili u stepenima, onda bi rezultat limesa bio pi/180, a ne 1.

Sad sam ukapirao...

Vi pod "funkcija mere ugla" podrazumevate jedinice mere.
Ja to posmatram kao dva različita pojma.

Onda u redu (za limes =1).

Tada imaš odgovor i na pitanje

Citat:

Da li može da se prihvati da kada x teži nuli da dužina tetive BD teži ka x?

Dužina tetiva nije funkcija mere ugla, jer ako bi dužinu tetiva uzeli za funkciju mere ugla tada za uglove

α1 + α2 = α3

može biti

M(α1) + M(α2) > M(α3)

pa dužina tetiva nije odgovarajuća mera.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 04.05.2023. u 17:35 · pre 42 meseca #75

Nigde ne mogu da nađem stav da je obim pravilnog n-tougla veći od obima u njega upisane kružnice.

Dokaz tog stava bi ujedno bio i lagan dokaz ovog limesa.

Dokazao sam konveksnost funkcije tg(x) na intervalu [0,π/2).

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 05.05.2023. u 00:37 · pre 42 meseca #76

Za taj pristup preko površina treba dokazati da se mera ugla može definisati kao površina odgovarajućeg kružnog isečka jediničnog poluprečnika. To se dokazuje primenom invarijantnosti mere za izometrije i aditivnosti mere. Uvedena mera je polovina mere u radijanima. Onda se može primeniti metod sa površinama.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 22.05.2023. u 09:39 · pre 42 meseca #77

Da ne otvaram novu temu.

Kako bi išao dokaz za:

$\lim_{x->0} \frac{e^x -1}{x}=1$

Posle dokaza da je funkcija $\ e^x -1$ konveksna imamo da je funkcija $\frac{e^x -1}{x}$ rastuća.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 22.05.2023. u 22:18 · pre 42 meseca #78

Prvo uvedi funkciju $f_a(x)=a^x$ za $a>0$ i $x$ racionalno. Onda dokaži $a^{x+y}=a^xa^y$ , $a^xb^x=(ab)^x$ , $a^{b^c}=a^{bc}$ i monotoniju i iskoristi $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]a=1$ za $a>0$ da dokažeš da ako je $q_n$ niz racionalnih brojeva koji teži nuli da je onda $\lim_{n\to\infty}a^{q_n}=1$ . To iskoristi da dokažeš sledeće: ako je $u_n$ rastući niz racionalnih brojeva, a $v_n$ opadajući niz racionalnih brojeva, pri čemu je $\lim_{n\to\infty}(v_n-u_n)=0$ , onda mora biti $\lim_{n\to\infty}\frac{a^{v_n}}{a^{u_n}}=1$ , odnosno $\lim_{n\to\infty}a^{v_n}=\lim_{n\to\infty}a^{u_n}$ . To ti omogućava da definišeš jednoznačno $a^x$ za $a>0$ i $x$ realno kao jedinstevno neprekidno produženje sa racionalnih eksponenata na realne.

Funkcija $f_a(x)=a^x$ je za $a>1$ J-konveksna i neprekidna, pa je konveksna, pa je funkcija $\frac{a^x-1}x$ rastuća. Kada sa desne strane $x$ teži nuli, onda $\frac{a^x-1}x$ opada, ali je stalno veće od nule, pa konvergira nenegativnoj vrednosti. Za $0<a<1$ je

$\lim_{x\to 0+}\frac{a^x-1}x=\lim_{x\to 0+}\frac{1-(1/a)^x}{a^xx}=-\lim_{x\to 0+}\frac{(1/a)^x-1}x$ ,

pa se konvergencija svodi na konvergenciju u slučaju da je $a>1$ . Analogno važi i u slučaju kada $x$ teži nuli sa leve strane. Pošto smo dokazali konvergenciju, možemo definisati funkciju

$\ln(a)=\lim_{h\to 0}{a^h-1}h$ .

Sada se lako izvodi da je

$(a^x)'=a^x\ln(a)$ .

Ako je $\ln(a)=0$ , onda je $(a^x)'=0$ pa je funkcija konstantna i jednaka vrednosti $a^0=1$ pa je $a=1$ . Dakle, za $a>1$ je $\ln(a)>0$ , dok za $0<a<1$ važi $\ln(a)<0$ . Iz identiteta

$\frac{(ab)^h-1}h=\frac{a^h-1}h\frac{b^h-1}hh+\frac{a^h-1}h+\frac{b^h-1}h$

sledi da je $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ .

Odatle sledi da je $\ln(a/b)+\ln(b)=\ln(a)$ , odnosno

$\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$ , $\ln(1/a)=\ln(1)-\ln(a)=-\ln(a)$ .

Takođe, smenom $t=bh$ se dobija da važi

$ln(a^b)=\lim_{h\to 0}\frac{(a^b)^h-1}h=\lim_{h\to 0}\frac{a^{bh}-1}h=\lim_{h\to 0}\frac{a^{bh}-1}{bh}b=b\lim_{t\to 0}\frac{a^t-1}t=b\ln(a)$ .

Sada je lako izvesti strogu monotoniju funkcije $\ln$ . Za $0<a<b$ je

$\ln(b)=\ln((b/a)a)=\ln(b/a)+\ln(a)>\ln(a)$ .

Slično, iz $\ln((1/2)^n)=n\ln(1/2)$ i $\ln(2^n)=n\ln(2)$ sledi neograničenost funkcije $\ln$ i odozgo i odozdo. Dokažimo neprekidnost.

Iz monotonije sledi da postoje limesi i sa leve i sa desne strane. Svaka monotona funkcija može imati najviše prebrojivo mnogo tačaka prekida, pa postoje tačke u kojima je funkcija $\ln$ neprekidna. Neka je neprkidna u tački $a>0$ . Za svaki niz $x_n$ koji konvergira nekoj tački $b>0$ važi da niz $x_n\frac ab$ konvergira ka $a$ , pa važi

$\lim_{n\to\infty}\ln(x_n)=\lim_{n\to\infty}\ln(x_n(a/b)(b/a))=\lim_{n\to\infty}\ln(x_n(a/b)(b/a))=\lim_{n\to\infty}(\ln(x_n(a/b))+\ln(b/a))=\ln(b)-\ln(a)+\lim_{n\to\infty}(\ln(x_n(a/b))=\ln(b)$ ,

pa je neprekidna i u tački $b$ . Dakle, neprekidna je svuda. Pritom je $\ln(1)=0$ i sa ob strane neograničena i strogo rastuća, pa je bijekcija skup $(0,\infty)$ na $R$ , pa postoji jedinstvena vrednost $e$ za koju je $\ln(e)=1$ . Tada važi

$(e^x)'=e^x\ln(e)=e^x$ ,

a samim tim i

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}x=(e^x)'\left.\right|_{x=0}=e^0=1$ .

Pritom je

$\ln(e^x)=x\ln(e)=x$ ,

pa je $\ln$ ništa drugo do inverzna funkcija funkcije $e^x$ , odnosno logaritam za osnovu $e$ . Izvod funkcije $\ln$ se sada može izvesti kao izvod inverza funkcije $e^x$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 23.05.2023. u 08:36 · pre 42 meseca #79

Isparvka, definicija funkcije $\ln$ treba da glasi

$\ln(a)=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}h$ za $a>0$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 18.02.2024. u 22:38 · pre 33 meseca #80

Citat:

miki069:
Preko dužine upisanih tetiva.

Preko kosinisne teoreme se lako dokaže da je dužina tetive BD jednaka 2*sin(x/2).

Ako kružni luk podelimo simetralom ugla x, dobijemo dve upisane tetive čiji je zbir 4*sin(x/4).
Posle sledeće podele uglova x/2 simetralama imamo 4 tetive čiji je zbir jednak 8*sin(x/8).

Posle n-1 iteracije imamo da je zbir tetiva jednak 2^n*sin(x/(2^n)).

Kada pustimo da n teži u beskonačno, intuitivno, zbir tetiva teži dužini kružnog luka x.

To jest 2^n*sin(x/(2^n)) teži x.

Odatle sin(x/(2^n)) teži ka x/(2^n), što je i dokaz traženog limesa.

Ako pustimo da n teži u beskonačnost imamo dokaz traženog limesa.

Korektno?

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme