Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x)

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 26.04.2023. u 03:07 · pre 43 meseca #41

BrutalCoin nastupa kao da postoji samo jedan ispravan redosled izlaganja.

Problem je što se trigonometrija tipično izlaže tako da se analiza i geometrija ne povežu logički utemeljeno.

Može se dokazati da je u desnoj poluokolini nule sinus konkavna, a tangens konveksna funkcija. Odatle sledi da je funkcija $\tan(x)/x$ rastuća, a $\sin(x)/x$ opadajuća, pri čemu važi nejednakost $\frac{\sin(x)}x<\frac{\tan(x)}x$ . Odatle se izvodi da traženi limes postoji i da je pozitivan i konačan. Pritom se "može napraviti izbor mernih jedinica" takav da taj limes bude jednak 1.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 26.04.2023. u 10:55 · pre 43 meseca #42

Citat:

Nedeljko

BrutalCoin nastupa kao da postoji samo jedan ispravan redosled izlaganja.

Nemoj preterivati. Nisam ja osporio tvoj sistem nego postavljam pitanje kako to uklopiti u postojeći (tj. već uobičajeni) sistem. A postojeći sistem je kako sam napisao "ad-hok" tj. na osnovu iskustva.

A problem x < tg(x) se u praktično celokupnoj literaturi zasniva no onome što su napisli Adnadjević/Kadelburg i oni pre njih. Tj. dokazuje se geometrijski preko površine kružnog isečka.
Nakon dokaza x < tg(x) Adnadjević/Kadelburg dokazuju (na osnovu "dokazanog") da je lim(sinx/x)=1, x-->0.

Zatim navode teoremu o izvodu inverzne funkcije i daju

(arcsinx)' = 1/Sqrt(1-x^2)

pozivajući se na tu teoremu.

E sad je problem lim(sinx/x), x-->0 mada se u pomenutoj teoremi traži lim((f(x)-f(x0))/(x-x0)), x-->x0. A to nije lim(sinx/x), x-->0.

Na primer, Ljaško/Boračuk samo daju lim(sinx/x)=1, X-->0, ali dokaz (trivijalno

) prepuštaju čitaocu i kasnije koriste taj limes za rešavanje zadataka.

U knjizi za elekttrotehnički Mihajlović/Janić takodje koriste geometriju:
Na krugu poluprečnika OA=OB=R sa centralnim uglom AOB=x zaključuju da važi:
area trougla OAB < area sektora OAB < area trougla OAC

area trougla OAB = R^2*sinx/2
area sektora OAB = luk AB*R/2 = R*x*R/2 = R^2x/2
area trougla OAC = OA * OC/2 = R*R*tgx/2 = R^2*tgx/2

Pa dobijaju

R^2*sinx/2 < R^2x/2 < R^2*tgx/2

tj.

sinx < x < tgx ■

Problem, x < tgx, se može rešavati i preko kompleksnih brojeva.
Ali onda za kompleksan broj

z = x + iy

neko može da kaže da je to u stvari

z = r(cosß + isinß), r = |z|

i da sve ospori jer se javlja sinus.

Citat:

Nedeljko:

Može se dokazati da je u desnoj poluokolini nule sinus konkavna, a tangens konveksna funkcija.

Kako dokazuješ da je konveksna? Preko izvoda ili parametarskim putem?

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 26.04.2023. u 20:04 · pre 43 meseca #43

Ljaško Bojarčuk.

Zaboravi izvode.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 27.04.2023. u 16:21 · pre 43 meseca #44

Citat:

BrutalCoin:

Citat:

Nedeljko:

Može se dokazati da je u desnoj poluokolini nule sinus konkavna, a tangens konveksna funkcija.

Kako dokazuješ da je konveksna? Preko izvoda ili parametarskim putem?

Prvo se dokazuje da je J-konkavna na intervalu $[0,\pi]$ , odnosno da važi.

$\frac{\sin(x)+\sin(y)}2<\sin\Big(\frac{x+y}2\Big)$ za $0\leq x<y\leq\pi$ .

Za J-konkavnu funkciju se dokazuje da zadovoljava uslov

$f((1-\theta)x+\theta y)>(1-\theta)f(x)+\theta f(y)$ za $\theta\in Q\cap(0,1)$ .

Takođe se dokazuje da je konkavna ako je lokalno ograničena ili neprekidna. Sinus je ograničen.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 27.04.2023. u 18:41 · pre 43 meseca #45

To su definicije a ne dokaz.

U svim tim teoremama po literaturi, po pravilu se pretpostavi diferencijabilnost i koristi izvod da se dokaže konveksnost.

No, nije bitno, uzmi da nisam ništa pitao.

Jedna ideja je da se posmatraju tetive koje spajaju grafik funkcije i ako su tetive iznad grafika onda je funkcija konveksna. Može se teoretski dokazati a računarski realizovati i meni dovoljno.

Citat:

miki069

Razvoj u red koristi izvod od sin(x).

U medjuvremenu sam malo računao.
Ako uzmem izvod

tg'(x) =1/cos^2(x)

pa drugi izvod

tg''(x) =2sin(x)/cos^3(x)

Tu nigde ne vidim sin(x)/x a kako izgleda ni u sledećim izvodima se neće pojaviti.

Zašto je onda problem da se preko razvoja u red pokaže

x + x^3/3 + 2x^5/15 + ... > x

za x iz (0,Pi/2)?

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 27.04.2023. u 20:18 · pre 43 meseca #46

Izvod od tg(x) se ne može dokazati bez izvoda od sin(x).
Izvod od sin(x) se ne može dokazati bez limesa koji dokazujemo.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 27.04.2023. u 23:16 · pre 43 meseca #47

Da, kad se ispiše po definiciji onda upravo tako "zaglavi".

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 28.04.2023. u 01:16 · pre 43 meseca #48

Citat:

BrutalCoin:
To su definicije a ne dokaz.

Napisao sam šta treba da dokažeš. Dokaz J-konkavnosti sinusa se izvodi pomoću adicionih formula. Potrudi se malo.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 28.04.2023. u 06:41 · pre 43 meseca #49

Ne treba ja ništa da dokazujem a tebi šta treba dokazuj sam.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 28.04.2023. u 15:50 · pre 43 meseca #50

Ne treba meni ništa, samo onda ne razumem tvoj komentar koji sam citirao.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 29.04.2023. u 01:39 · pre 43 meseca #51

Nije problem da se dokaže da je sin(x) "Dži konkavna", a tg(x) "Dži konveksna".

Ne vidim kako se posle toga dokazuje limes koji je tema?

To što je tg(x)/x rastuća funkcija ne povlači da je x<tg(x).

Mislim da bez dokaza te nejednakosti samo presipamo šuplje u prazno.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 29.04.2023. u 21:00 · pre 43 meseca #52

Iz J-konveksnosti i monotonije sledi konveksnost. Odatle sledi da je sinus konkavan, a tangens konveksan u desnoj poluokolini nule. Odatle sledi da za $0<a<b<\pi/2$ važi

$\frac{\sin(a)}a<\frac{\sin(b)}b<\frac{\tan(b)}b<\frac{\tan(a)}a.$

Odatle sledi da kada se $a$ približava sa desne strane nuli, vrednost $\frac{\sin(a)}a$ je pozitivna, raste i ograničena odozgo sa $\frac{\tan(b)}b$ , pa ima konačan i pozitivan limes koji nije veći od $\frac{\tan(b)}b$ . Analogni iskaz važi i za tangens. Pošto je količnik sinusa i tangensa jednak kosinusu, koji je neprekidan i u nuli jednak jedinici, ta dva limesa su jednaka, konačna i pozitivna.

Koliki je taj limes, to zavisi od izbora mere ugla, koja je određena do na multiplikativnu konstantu, a koja se može odabrati tako da taj limes bude jednak jedinici.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 30.04.2023. u 00:36 · pre 43 meseca #53

Za a = 0.1 i b = 1.5 je

sin(a) = 0.09983341664
sin(b) = 0.9974949866

Tada je

sin(a)/a = 0.99833416646
sin(b)/b = 0.66499665773

pa je

sin(a)/a > sin(b)/b

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 30.04.2023. u 09:28 · pre 43 meseca #54

Tako i treba da bude jer je sin(x)/x opadajuća funkcija na intervalu (0, π/2).

U prvoj poruci je Nedeljko tako i napisao.
U drugoj je okrenuo u rastuću.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 30.04.2023. u 21:28 · pre 43 meseca #55

Dokazao sam konkavnost za sin(x) na intervalu (0, π).
Kako ona povlači da sin(x)/x opada?

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 01.05.2023. u 16:28 · pre 43 meseca #56

Ako prihvatimo da sin(x)/x opada, a tg(x)/x raste, poredak bi bio:

sin(b)/b < sin(a)/a < tg(a)/a < tg(b).

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 01.05.2023. u 17:50 · pre 43 meseca #57

Taj niz nejednakosti se može izvesti iz primera koji sam dao jer

tg(a)/a = 1.003346721
tg(b)/b = 9.400946631

I sad ako posmatramo limese

lim ( sin(a)/a ) < lim ( tg(a)/a )

Ali lim ( tg(a)/a, a-->0 ) = 1 a u prethodnoj nejednakosti imamo znak manje, što bi povlačilo netačan zaključak

lim ( sin(a)/a, a-->0 ) < 1 !

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 01.05.2023. u 20:38 · pre 43 meseca #58

Citat:

miki069:
Dokazao sam konkavnost za sin(x) na intervalu (0, π).
Kako ona povlači da sin(x)/x opada?

Neka je $a<c<b$ i $f:[a,b]\longrightarrow R$ konveksna funkcija. Tada su sledeće formule ekvivalentne:

$\frac{f(c)-f(a)}{c-a}<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ,

$(b-a)(f(c)-f(a))<(c-a)(f(b)-f(a))$ ,

$(b-a)f(c)<(b-c)f(a)+(c-a)f(b)$ ,

$f(c)<\frac{b-c}{b-a}f(a)+\frac{c-a}{b-a}f(b)$ .

Za $\theta=\frac{c-a}{b-a}f(b)$ se zbog $c=(1-\theta)a+\theta b$ to svodi na

$f((1-\theta)a+\theta b)<(1-\theta)f(a)+\theta f(b)$ ,

pri čemu je

$0<\theta<1$ .

@BrutalCoin

Iz $a(x)<b(x)$ sledi $\lim a(x)\leqslant\lim b(x)$ , a ne i $\lim a(x)<\lim b(x)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 01.05.2023. u 22:07 · pre 43 meseca #59

Nedljko teško te je pratiti.
Napisao si onu nejednakost koja je pod znakom pitanja a nisi prokomentarisao šta si hteo da napišeš.
Ako ostaje da si baš to hteo da napišeš onda može kako hoćeš.

Dalje, ako je na primer lim( b(x) ) gornje ograničenje za a(x) onda je lim( a(x) ) = lim ( b(x) ).
Jel dokazano (u prethodno napisanom) da je lim ( tg(x)/x, x-->0 ) gornje ograničenje za sin(x)/x ?

Pitam zato što ne ispravljaš tipografske greške i ono što si napisao sa obrnutom nejednakošću nije baš dokaz.

Re: Dokaz teoreme tablicnog limesa? - (sinx/x) 02.05.2023. u 00:10 · pre 43 meseca #60

Ako konveksnoj funkciji f(x) dokazujemo da f(x)/x raste, ciljna nejednakost bi trebala biti:

f(c-a)/(c-a) < f(b-a)/(b-a).

Dokazano je nešta drugo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme