Kolinearnost tri tačke

Kolinearnost tri tačke 11.10.2018. u 10:41 · pre 98 meseci #1

Zadatak je bio na državnom takmičenju iz matematike za 8. razred osnovne škole 2016. godine (zadatak 5).

Citat:

Prava p sadrži ortocentar H oštrouglog trougla ABC i seče njegove stranice AB i CA, pri čemu stranicu CA u tački P. Prava q takođe sadrži tačku H, normalna je na p i seče stranice AB i BC, pri čemu stranicu BC u tački Q. Prava kroz A paralelna sa q i prava kroz B paralelna sa p seku se u tački R. Dokaži da su tačke P, Q i R kolinearne.

Ovo je jedini preostali zadatak od 50-ak zadataka sa državnih takmičenja osnovaca od šestog do osmog razreda (bez rešenja) koji nisam uspeo da rešim.
Pokušao sam preko korišćenja Pitagorine teoreme za razne trouglove, ali se sve na kraju svelo na identitet $cos^{2}\alpha + sin^{2}\alpha = 1$ .
Takođe, pokušaj dokazivanja da su odgovarajući uglovi jednaki nije dao rešenje.
Na kraju mi se učinilo da je slučaj sličan slučaju iz Njutnove teoreme za tangentne trouglove, ali nisam uspeo da obavim tu konstrukciju.

Potrebna mi je pomoć, ako imate ideju koja bi dovela do rešenja. Potreban mi je nagoveštaj ili pravac u kom treba da se krećem jer ne želim da se u potpunosti odreknem zadovoljstva koje sobom nosi rešavanje zadatka.

Potpis

"Verovatno da preko nje mnoge sile kontrolišu mnogo šta..." - GANDOR
"Kada bi ljudski mozak bio tako jednostavan da bismo mogli da ga shvatimo, onda bismo mi bili toliko glupi da ga ipak ne bismo mogli shvatiti."

Drz2016_VIII_z5.png41.1k

1

Re: Kolinearnost tri tačke 12.10.2018. u 21:31 · pre 98 meseci #2

Zadatak se lako rešava analitički.

Stavi A(a,b), B(0,0), C(1,0) i cepaj.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kolinearnost tri tačke 13.10.2018. u 13:13 · pre 98 meseci #3

Jasno mi je.
Ordinata tačke H se odredi iz činjenice da je prava HC pod pravim uglom u odnosu na pravu AB.
Sada se provuče prava nagiba k kroz taklu H (prava p). U preseku sa pravom AC je tačka P (dobiju se koordinate tačke P u zavisnosti od a, b i k).
Prava q je pod pravim uglom u odnosu na p (nagib -1/k) i prolazi kroz H. U preseku q sa BC se dobije x koordinata tačke Q.
Tačka R je u preseku pravih AR i BR (zna im se nagib i jedna tačka kroz koju prolaze).
x koordinata tačke R se uvrsti u jednačinu prave PQ i proveri da li y koordinata tačke R zadovoljava tu jednačinu.

Još samo da uradim fizikaliju.

Hvala Nedeljko.

Potpis

"Verovatno da preko nje mnoge sile kontrolišu mnogo šta..." - GANDOR
"Kada bi ljudski mozak bio tako jednostavan da bismo mogli da ga shvatimo, onda bismo mi bili toliko glupi da ga ipak ne bismo mogli shvatiti."

Re: Kolinearnost tri tačke 20.10.2018. u 08:55 · pre 98 meseci #4

U nastavku dajem i urađenu fizikaliju ;-)

Jednačina prave $AB$ je: $y_{AB}(x)=\frac{b}{a}\cdot x$
uz napomenu da osim očiglednog $0<a<1$ , važi i $b> \sqrt{a(1-a)}$ , tj. tačka $A$ mora biti iznad polukruga nad prečnikom $BC$ za dato $a$ .

Prava $HC$ je upravna na pravu $AB$ , pa je njena jednačina: $y_{HC}(x)=\frac{a}{b}(1-x)$ , odakle su koordinate tačke $H$ : $H(a, \frac{a}{b}(1-a))$ .

Ako nagib prave $p$ označimo sa $k$ , tada su jednačine pravih $p$ i $q$ :

$y_{PH}(x)=k(x-a)+\frac{a}{b}(1-a)$ , i

$y_{QH}(x)=-\frac{1}{k}(x-a)+\frac{a}{b}(1-a)$ , respektivno, gde je $-\frac{a}{b}<k<-\frac{a}{b}+\frac{1}{b}$ .

Jednačine pravih $AC$ i $BC$ su:

$y_{AC}=\frac{b}{1-a}(1-x)$ , i

$y_{BC}=0$ , respektivno.

Iz jednačine $y_{PH}(x_{P})=y_{AC}(x_{P})$ dobijaju se koordinate tačke $P$ :

$x_{P}=\frac{b^{2}+a(1-a)(bk-(1-a))}{b(b+(1-a)k)}$ ,
$y_{P}=\frac{(1-a)(a+bk)}{b+(1-a)k}$ .

Iz jednačine $y_{QH}(x_{Q})=y_{BC}(x_{Q})$ dobijaju se koordinate tačke $Q$ :

$x_{Q}=\frac{a}{b}(b+(1-a)k)$ ,
$y_{Q}=0$ .

Jednačine pravih $RB$ i $RA$ su:

$y_{RB}=kx$ , i
$y_{RA}=-\frac{1}{k}(x-a)+b$ , respektivno.

Iz jednačine $y_{RB}(x_{R})=y_{RA}(x_{R})$ , dobiju se koordinate tačke $R$ :

$x_{R}=\frac{a+bk}{k^{2}+1}$ , i
$y_{R}=\frac{k}{k^{2}+1}(a+bk)$ .

Sada je jednačina prave $RQ$ :

$y_{RQ}(x)=\frac{y_{R}}{x_{R}-x_{Q}}(x-x_{Q})$ .

Ako koordinate tačke $P$ zadovoljavaju ovu jednačinu, tada su tačke $P$ , $Q$ i $R$ kolinearne.

Zaista, nakon malo računa, pokazuje se da je $y_{RQ}(x_{P})=y_{P}$ , čime je tvrđenje zadatka dokazano.

Potpis

"Verovatno da preko nje mnoge sile kontrolišu mnogo šta..." - GANDOR
"Kada bi ljudski mozak bio tako jednostavan da bismo mogli da ga shvatimo, onda bismo mi bili toliko glupi da ga ipak ne bismo mogli shvatiti."

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme