Zadaci iz uvoda u apstraktnu matematiku

Čitam knjigu "An introduction to abstract mathematics" (Keith Devlin, 2004) i došao sam do prvih zadataka.
Uradio sam nekoliko pa bih hteo da proverim a knjiga nema rešenja.
(1) Simplify the following statements as much as you can:

(a) (π > 0) ∧ (π < 10)
Rešenja:
(π > 0) ∧ (π < 10) <=> 0 < π < 10
nisam stavljao zagrade jer sam negde pročitao da ide po snazi kao bi "uštedeli" zagrade: ¬, ∧ i ∨, <=> i =>. Ili da ih ipak svugde stavljam?


(b) (3 < 4) ∧ (3 < 6)
ovde nemamo nikakvu vezu izmedju 4 i 6 tako da mi se čini da ne može jednostavnije.


(c) (e < 4) ∧ (e^2 < 9) <=> (e < 4) ∧ ((0 < sqrt(e^2) < 3) ∨ (0 > sqrt(e^2) > -3)) => (0 < (sqrt(e^2) < 3) ∨ (0 > sqrt(e^2) > -3))
Nešto mi sumnjivo ovo ∨. Jel ti trebala možda konjukcija (zato što je skup rešenja e ∈ (-3, 3))?
Da li sam mogao još da dopišem i <=> e ∈ (-3, 3)?
Tu gde sam stavio znak implikacije - jel to ok (skoro siguran) ili treba ekvivalencija?



(d) (π > 0) ∨ (π > 1) <=> π > 0


(e) (π < 0) ∨ (π > 0)
Ovde vidimo da π nije jednako nuli, ali ne znam koji bi bio odgovarajuc način da se to napiše.

Hvala :)

P.S. Kad pogledam kako poruka izgleda, čini mi se teško čitljivo ovo sa znacima.
Jel postoji neki način ili softver da mogu lepo da koristim koren, exponent itd. ?

Pročitaj ovo
http://www.elitesecurity.org/p239473

, itd.

Ima toga i ovdje.Ili tu.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Hvala puno zzzz, ovo je super

Kaže:
carry out the required logical argument that ¬(φ ∨ ψ) and (¬φ) ∧ (¬ψ) are equivalent.
Šta je ovde ustvari logical argument: Da ispisem tabele ili da ispričam ono što mislim?
Npr. φ ∨ ψ je tačno kada je bar jedan od iskaza tačan.
¬(φ ∨ ψ) je tačno kada je niti jedan od iskaza tačan tj. kad su sci (tj. i jedan i drugi - konjukcija - netačni) što se može napisati kao (¬φ) ∧ (¬ψ).

P.S. Imam još gomilu pitanja ali čekam da neko prvo na ova odgovori jer se bojim da ako odjednom stavim sve, ima ljudi da se smore i niko mi neće pomoći

ovo što si gore napisao je De Morganov zakon u logici: https://en.wikipedia.org/wiki/De_Morgan%27s_laws

Hvala djoko.
Sad znam da ima i ime :) - neobično da to nije napisano u knjizi. Ili nisam još dotle došao.
Mene u tom pitanju ustvari najviše zanima šta je tačno "logical argument" zato što nisam siguran da li je to što se meni ovde činilo kao "logical argument" zapravo zadovoljavajuć s gleišta jednog matematičara.
Koncept "logičnog argumenta" mi nije najjasniji. Kao ni "dovoljnog dokaza" i njihove veze tj. da li je logički argument dokaz ili je logički argument samo jedan (od više?) delova dokaza.


Još jedna nejasnoća:
Piše kako se sve može pročitati φ => ψ kao i φ <=> ψ i onda kaže.
..the above discussion of equivalent terminologies refers to implication and equivalence, not their formal counterparts
the conditional and the biconditional.

Koji je razlika izmedju:
1.) "implication" i "conditional"
2.) "equivalence" i "bicondicional"?
Meni se to na prvi pogled čini isto, ali izgleda da nije?

Postavljam i rešenja nekih vežbi za koje verujem da su tačna.

Exercises 2.2
(1) By a denial of a statement φ we mean any statement equivalent to ￢φ. Give a
useful denial of each of the following statements.

(a)34,159 is a prime number.
34,159 Is not a prime number.
I believe it could be also said: 34,159 is a composite number.

(b) Roses are red and violets are blue.
There exists at least one rose which is not red or there exists at least one violet which is not blue or both.


(c) If there are no hamburgers, I’ll have a hot dog.
Using the table:
If there are no hamburgers, I’ll not have a hot dog.


(d) Fred will go but he will not play.
Fred will go but (also „and“ can be used) he will play.
Came to conclusion using tables.

(e) The number x is either negative or greater than 10.
The number x is negative and greater than 10.


(f) We will win the first game or the second.
We will lose (not win) the first and will lose the second game.
Simpler:
We will lose (not win) the first and the second game.

Ovo mi se čini da je dobro ali nisam siguran:

(2) Which of the following conditions is necessary for the natural number n to be
divisible by 6?
(a) n is divisible by 3. – Yes.
(b) n is divisible by 9. - No
(c) n is divisible by 12. - Yes.
(d) n = 24. - No
(e) n^2 is divisible by 3. - Yes
(f) n is even and divisible by 3. – Necessary and sufficient.

(3) In (2), which conditions are sufficient for n to be divisible by 6?
Answer: (c), (d)

(4) In (2), which conditions are necessary and sufficient for n to be divisible by 6?
Answer (f)

Koji je razlika izmedju?
1.) "implication" i "conditional"
2.) "equivalence" i "bicondicional"?
Meni se to na prvi pogled čini isto, ali izgleda da nije?

Odgovor:
The conditional and biconditional only differ from implication and equivalence in situations that do not arise in the course of normal mathematical practice.
In any real mathematical context, the conditional effectively is implication and the biconditional effectively is equivalence.
So, having made note of where the formal notions differ from the everyday ones, mathematicians simply move on and turn their attention to other things.
The very act of formulating formal definitions creates an understanding of implications and equivalence that allows us to use the everyday notion safely.
Of course, computer programmers and people who develop aircraft control systems don't have such freedom.
They have to make sure all the notions in their programs are defined and give answers in all circumstances.

Istini za volju, to je gore vec napisano ali nije dovoljno sažvakano za nekog ko se prvi put s tim sreće.

Kod prvog zadatka je greška uzimati da koren broja može biti manji od nule - koren se uzima da je uvek pozitivan, a za rešenja npr. se uzima , ali sam koren pozitivnog broja je uvek pozitivan.

Za deljivost sa 6 broj ne mora biti deljiv sa 12, već samo sa 2 i 3 (12 je deljiv i sa 4, što nije potrebno za deljivost sa 6, recimo 18 nije deljivo sa 12, ali je deljivo sa 6, kao i npr. 30, 42, itd.).

Potpis

Blessed are those who can laugh at themselves, for they shall never cease to be amused.

Hmm, lik reče u knjizi da se "Analiza" po default-u bavi realnim brojevima.
Kako su intedžeri podskup skupa realnih, zašto se ne uzima negativan broj kao rešenje?


Zar se ne gleda to kao:
Svaki broj deljiv sa 12 je deljiv i sa 6 tako da je to (jedan od) uslova?

Ako moji odgovori (više su to pitanja :) izgledaju glupavo ili neprimereno - izvinjavam se, samo hocu da razumem iz korena.

Ne gleda se.

Sledeća izjava je tačna: ako je broj deljiv sa 6, onda je deljiv sa 3. Dakle, deljivost sa tri je POTREBAN uslov (necessary)
Ali ova nija tačna: ako je broj deljiv sa 6, onda je deljiv sa 12. (nije tačno jer postoje brojevi deljivi sa 6 koji nisu deljivi sa 12). Znači deljivost sa 12 nije POTREBAN uslov da bi broj bio deljiv sa 6.

Drugim rečima, ako je tačno "ako A onda B" tada je B potreban uslov za A

Kliknulo. Hvala :)

Jel može neko da mi objasni šta ovo znači?



Našao sam na engleskom na vikipediji ali nisam razumeo koncept.

presek svih skupova Mi je skup elemenata x takvih da x pripada svakom od i skupova Mi

Jel možeš da navedeš neki primer?
U knjizi se to zove "indexed set" ili "indexed collection". Kako se zove na srpskom?

Našao: http://www.pmf.ni.ac.rs/pmf/predmeti/1001/ML-P04-S-1.pdf

Cini mi se da je odlično napisano.

Jel zna neko kako da nadjem nastavak?
Prodao sam na:
http://www.pmf.ni.ac.rs/pmf/predmeti/1001/
ali ne može da otvori folder.

Nemoj da učiš terminologiju na engleskom.

Zamisli da je skup Mi skup nastavnika koji predaju odeljenju i. Neki nastavnici (možda) predaju u svakom odeljenju koje je u index setu.

je familija skupova sa skupom indeksa . Svakom pridužen je po jedan skup u oznaci .

Presek te familije je skup svih elemenata koji pripadaju svakom od skupova iz familije, odnosno skup svih takvih da za svaki indeks važi .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Hvala Nedeljko :)

Jel može neki element da ne bude u relaciji sa samim sobom?

Ovde ne vidim nikakvu relaciju.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.