[es] - Sta znaci pojam uniformno ogranicena funkcija R>R na zatvorenom intervalu?

srbinxp

Član broj: 16278
Poruke: 101
*.teol.net

Profil

Sta znaci pojam "uniformno ogranicena funkcija R>R na zatvorenom intervalu"?

^{04.06.2004. u 11:19 - pre 241 meseci}

Sta znaci pojam "uniformno ogranicena funkcija na intervalu"?
Znam šta znači uniformno neprekidna ali ovo prvi put čujem.
Radi se o preslikavanju iz R u R.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dial.InfoSky.Net

+2789 Profil

Re: Sta znaci pojam "uniformno ogranicena funkcija R>R na zatvorenom intervalu"?

^{04.06.2004. u 13:57 - pre 241 meseci}

Pojam uniformne ograničene ograničenosti se vezuje isključivo za familije funkcija, odnosno operatora, odnosno nizova, a nikako za jednu funkciju, odnosno niz, odnosno operator.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

srbinxp

Član broj: 16278
Poruke: 101
*.teol.net

Profil

Re: Sta znaci pojam "uniformno ogranicena funkcija R>R na zatvorenom intervalu"?

^{04.06.2004. u 15:47 - pre 241 meseci}

Jel može precizna definicija?
Prenosim čitavu teoremu i dio dokaza gdje se spominje uniformna ograničenost:

Citat:

Teorema(Peanova):
Neka je f-ja f(x,y) neprekidna u oblasti

G: |x-x₀|<=a ,|y-y₀|<=b

tada početni problem y'=f(x,y) ,y(x₀)=y₀ ima bar jedno rešenje definisano u razmaku |x-x₀|<=min(a,b/M) gdje je
M=sup_G |f(x,y)|.

Dokaz::

Neka je min(a,b/M)=h;Konstruisaćemo prvo niz {y_n(x)} podjednako neprekidnih i uniformno ograničenih f-ja u razmaku [x₀,x₀+h] ovako:

(6) y_n(x)= y₀ ,za x₀<=x<=x₀+h/n

y_n(x)= y₀+integral_x₀^x-h/n f(t,y_n(t)) dt za x₀+kh/n>=x>=x₀+(k+1)h/n k=1,2,...,n-1

Prvom jednačinom (6) se y_n(x) definiše u razmaku [x₀,x₀+h/n] a drugom u idućem razmaku [x₀+h/n,x₀+2h/n] i zatim redom do zadnjeg [x₀+(n-1)h/n,x₀+h].

Iz (6) se indukcijom pok dobija: za svako x iz I i svako n iz N
(7)|y_n(x)-y₀|<=b
pa su svi članovi posmatranog niza dobro definisani jer za svako n (x,y_n(x)) pripada G.
Iz jednačine (7) slijedi da je
|y_n(x)|<=b+|y₀|, n=1,2,... x iz I
pa je posmatrani niz uniformno ograničen u I
...

OSim toga nije mi u ovom dijelu jasno kako dokazuje (7) indukcijom po k kada u (7) se uopšte ne spominje k.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dial.InfoSky.Net

+2789 Profil

Re: Sta znaci pojam "uniformno ogranicena funkcija R>R na zatvorenom intervalu"?

^{05.06.2004. u 00:33 - pre 241 meseci}

Da, ovde se govori o uniformno ograničenom nizu funkcija

. To znači da postoji konstanta

takva da je

za sve prirodne brojeve

i sve

iz domena funkcija

. Ako se ne kaže na kom je skupu taj niz funkcija uniformno ogranichen (kada moraju sve funkcije iz niza definisane na tom skupu), onda se podrazumeva da su domeni svih funkcija iz tog niza funkcija biti jednaki.

Drugo, niz funkcija

ti za ovu namenu i nije baš nabolje definisan.Trebalo bi da bude

i da funkcija

bude neprekidna i linearna na svakom od degmanata

i tako da koeficijent pravca na odsečku

bude jednak

Nije teško pokazati da za svaki prirodan broj

postoji jedinstvena funkcija

definisana na intervalu

koja ispunjava tražene uslove.

No, pošto koeficijent pravca na bilo kom od segmenata ne može preći

po apsolutnoj vrednosti, pa stoga važi tražena nejednakost (7). Iz istog razloga su funkcije iz tog niza funkcija ravnomerno neprekidne. Lipšicove su sa istom konstantom

Sada možeš da primeniš Arcela-Askolijevu teoremu o relativnoj kompaktnosti Banahovog prostora

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

srbinxp

Član broj: 16278
Poruke: 101
*.teol.net

Profil

Re: Sta znaci pojam "uniformno ogranicena funkcija R>R na zatvorenom intervalu"?

^{05.06.2004. u 11:29 - pre 241 meseci}

Nije mi jasno kako definišeš kojeficijent pravca koef=

pomoću y kada y nije definisana funkcija?

Da se taj dokaz kojeg navodiš naziva kao dokaz pomoću Eulerovih poligonalnih linija,pošto u knjizi koju ja čitam navodi se da je dokaz od Tonellija.
Dalje,ne znam ni šta znači "ravnomjerno neprekidne"?
Položio sam Analizu1 ,Analizu2 i Kompleksnu analizu i nigdje nismo to učili.

Također ni teoremu Arcela-Askolija.Da li mi to imamo nedoslednost u nastavi?

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dial.InfoSky.Net

+2789 Profil

Re: Sta znaci pojam "uniformno ogranicena funkcija R>R na zatvorenom intervalu"?

^{05.06.2004. u 14:01 - pre 241 meseci}

Prvo,

. Sada znamo da je

a samim tim i da je

. Odatle dalje zaklučujemo da na segmentu

važi

. Postupak se dalje slično produžava. Na drugu starnu ide simertično. Dakle, za

će koeficijent pravca funkcije

na odsečku

zapravo biti

, tako da imam tu grešku u prethodnom postu. Za Tonelijev dokaz ne znam, ali formule su ti očigledno bagirane. Familija funkcija je ravnomrno neprekidna na nekom skupu ako za svako

postoji

tako da za ma koje x,y iz tog skupa i ma koju funkciju f iz te familije važi da ako su x i y na rastojanju manjem od

, onda su i f(x) i f(y) na rstojanju manjem od

Teorema Arcela Askolija tvrdi da ako je F familija ravnomerno ograničenih i ravnomerno neprekidnihrealnih funkcija sa domenom [a,b] za a<b, onda se iz svakog niza funkcija iz te familije može izdvojiti ravnomerno konvergentan podniz. Niz funkcija

sa istim domenom ravnomerno konvergira ka funkciji

sa tim domenom ako za svako

postoji prirodan broj N takav da za sve n>N i svako x iz domena važi da su

na manjem rastojanju od

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

srbinxp

Član broj: 16278
Poruke: 101
81.93.74.*

Profil

Re: Sta znaci pojam "uniformno ogranicena funkcija R>R na zatvorenom intervalu"?

^{05.06.2004. u 20:26 - pre 241 meseci}

Da sumiramo definicije (da li sam ih dobro shvatio?):

1.Familija funkcija može biti uniformno neprekidna(ravnomjerno neprekidna) što je različito od situacije kada je svaka funkcija familije uniformno neprekidna.
2.Familija funkcija može biti uniformno ograničena što je različito od situacije kada je svaka funkcija familije ograničena.Jedna funkcija ne može biti uniformno ograničena.
3.Niz funkcija

uniformno konvergira ka f(x) što je različito kada za svako

iz domena niz

konvergira ka

(tačkasta konvergencija)

U definisanju koeficijenta pravca f-je

na odsječku

zar ne bi trebalo biti

umjesto

jer ako uzmemo drugi slučaj za k=0 dobijemo da na intervalu

je koeficijent pravca

što nije tako zar ne (trebao bi biti

?

I kako iz uslova da su koeficijenti manji od M izvodiš uslove potrebne za primjenu teoreme Arcela Askolija?

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dial.InfoSky.Net

+2789 Profil

Re: Sta znaci pojam "uniformno ogranicena funkcija R>R na zatvorenom intervalu"?

^{05.06.2004. u 20:50 - pre 241 meseci}

Da, dobro si razumeo definicije. A ovo što te buni oko koeficijenta pravca važi samo za k<0. Ne možeš to primenjivati na slučaj kada je k=0. Za k>=0 važi formula koju si napisao.

Pa, ako su svi koeficijenti pravaca po apsolutnoj vrednosti manji do jednaki od M, onda su sve te funkcije Lipšicove sa Lipšicovom konstantom M, odakle je ta familija funkcija ravnomerno neprekidna. No, domen funkcija iz te familije je ograničen i ima širinu 2h, pri čemu se središnja tačka pri svim tim funkcijama slika u isti tačku, pa su sve te funkcije po apsolutnoj vrednosti ograničene sa

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

srbinxp

Član broj: 16278
Poruke: 101
81.93.74.*

Profil

Re: Sta znaci pojam "uniformno ogranicena funkcija R>R na zatvorenom intervalu"?

^{06.06.2004. u 21:57 - pre 241 meseci}

Valja li dokaz da je

Neka su komadići linearnih f-ja od kojih pravimo

zadati sa

Tada za proizvoljno x postoji k tako da
(1)

Ali

pa je (1) dalje jednako

Ali

i slično nastavljajući da razlažemo prvi sabirak dobijamo da je (1) jednako

Ravnomjernu neprekidnost još nisam izveo trenutno nemam ideju.

A kada primjenimo teoremu Arzela Ascolija i dobijemo funkciju y(x) kako se dalje dokazuje da je ona rešenje?

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dial.InfoSky.Net

+2789 Profil

Re: Sta znaci pojam "uniformno ogranicena funkcija R>R na zatvorenom intervalu"?

^{06.06.2004. u 22:59 - pre 241 meseci}

Dovoljno je koristiti Lipšicovu konstantu i za uniformnu ograničenost i za uniformnu neprekidnost. Sve je detaljno uradjeno u sjajnoj knjizi Slobodana Aljančića "Uvod u Relnu i Funkcionalnu Analizu".

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu