zadatak iz linearne algebre

zadatak iz linearne algebre 17.04.2015. u 14:23 · pre 140 meseci #1

Imam mali problem iz linearne algebre:

I - identička matrica (radimo sa kvadratnim matricama, nad realnim brojevima)
A - matrica takva da je (I+A) invertibilna

Dokazati da (I-A) i $(I+A)^{-1}$ komutiraju.

Sta se desava ako matrica A nije invertibilna? Ima li neko ideju kako bi se onda radio zadatak?

Ako A jeste invetibilna dokaz je direktan racun: Prvo se dokaze da A i $(I+A)^{-1}$ komutiraju:

$A(A+I)^{-1}=((A+I)A^{-1})^{-1}=(I+A^{-1})^{-1}=(A^{-1}(A+I))^{-1}=(A+I)^{-1}A$

Onda se izmnozi:
$(I-A)(I+A)^{-1}=(I+A)^{-1}-A(I+A)^{-1}=(I+A)^{-1}-(I+A)^{-1}A=(I+A)^{-1}(I-A)$

Dokaz ne prolazi za matrice A koje nisu invertibilne. Neka ideja sta da radim u ovom slucaju?

Re: zadatak iz linearne algebre 17.04.2015. u 22:25 · pre 140 meseci #2

Hm, mozda sam nesto zeznuo, mnogo mi lako izgleda, al ajd da probamo. Neka je $B=I+A$ . Tada je $I-A=2I-(I+A)=2I-B$ i onda racunamo
$B^{-1}(2I-B)=2B^{-1}-I$ i $(2I-B)B^{-1}=2B^{-1}-I$ i cica mica i gotova prica.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: zadatak iz linearne algebre 18.04.2015. u 15:19 · pre 140 meseci #3

U super, hvala :) Bas je lepo i kratko :)

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme