Skup
sadrži sve racionalne brojeve jer je presek familije skupova od kojih svaki sadrži sve racionalne brojeve.
Skup
je Borelov mere nula jer je
.
Stoga je skup
pravi podskup od
, pa pošto mu pripadaju svi racionalni brojevi, bilo koji element iz
iracionalan broj, pa je
. Štaviše, skup
je svuda gust, jer sadrži sve racionalne brojeve. Kao
skup ne može biti svuda gust i prebrojiv po Berovoj teoremi o kategorijama, pa je neprebrojiv, pa pošto je skup racionalnih brojeva prebrojiv, u skupu
ima iracionalnih brojeva, pa je
.
Skupovi
i
zavise od izbora numeracije racionalnih brojeva. Zaista, neka
. Nađimo numeraciju
racionalnih brojeva takvu da za skup
važi
.
Neka je
najmanji prirodan broj koji se razlikuje od
za sve
i takav da je
. U tom nizu na osnovu konstrukcije nema ponavljanja prirodnih brojeva, a svi prirodni brojevi će se naći u njemu jer bi u protivnom postojao najmanji prirodan broj
koji nije u tom nizu. Pošto svi manji prirodni brojevi jesu u nizu, zaključujemo da je
za svako
, odnosno da je
, što je isključeno jer je broj
iracionalan na osnovu izbora.
Dakle, niz
, je permutacija skupa prirodnih brojeva, pa je
jedna numeracija racionalnih brojeva za koju važi
za svako
, pa samim tim i
.
Dakle,
, pa je
.
Poslednji deo zadatka se može rešiti simuliranjem dokaza korišćenog stava teorije mere i dokaza Berove teoreme o kategorijama.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Niz racionalnih brojeva-zadatak
Registrovani: 0 ( 0 )