Niz racionalnih brojeva-zadatak

Da li neko ima ideju za ovaj zadatak? Hvala puno..

Potpis

Follow your dreams, they know the way...

Skup sadrži sve racionalne brojeve jer je presek familije skupova od kojih svaki sadrži sve racionalne brojeve.
Skup je Borelov mere nula jer je

.

Stoga je skup pravi podskup od , pa pošto mu pripadaju svi racionalni brojevi, bilo koji element iz iracionalan broj, pa je . Štaviše, skup je svuda gust, jer sadrži sve racionalne brojeve. Kao skup ne može biti svuda gust i prebrojiv po Berovoj teoremi o kategorijama, pa je neprebrojiv, pa pošto je skup racionalnih brojeva prebrojiv, u skupu ima iracionalnih brojeva, pa je .

Skupovi i zavise od izbora numeracije racionalnih brojeva. Zaista, neka . Nađimo numeraciju racionalnih brojeva takvu da za skup



važi .

Neka je najmanji prirodan broj koji se razlikuje od za sve i takav da je . U tom nizu na osnovu konstrukcije nema ponavljanja prirodnih brojeva, a svi prirodni brojevi će se naći u njemu jer bi u protivnom postojao najmanji prirodan broj koji nije u tom nizu. Pošto svi manji prirodni brojevi jesu u nizu, zaključujemo da je za svako , odnosno da je , što je isključeno jer je broj iracionalan na osnovu izbora.

Dakle, niz , je permutacija skupa prirodnih brojeva, pa je jedna numeracija racionalnih brojeva za koju važi za svako , pa samim tim i

.

Dakle, , pa je .

Poslednji deo zadatka se može rešiti simuliranjem dokaza korišćenog stava teorije mere i dokaza Berove teoreme o kategorijama.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.