Osnovni stav algebre

Kažu da ne postoji potpuno algebarski dokaz OSA. Zašto?

Šta je njegova formulacija? Da je algebarsko zatvorenje polja realnih brojeva njegovo raširenje stepena dva. A šta su to realni brojevi? Pa, to je neka strukura koja zadovoljava neke aksiome. Aksiom(e) neprekidnosti svakako nema(ju) algebarsku formulaciju, pa su algebarska sredstva ograničena na preostale aksiome, tj. aksiome uređenog polja.

E, ali te aksiome zadovoljava i polje racionalnih brojeva, čije algebarsko zatvorenje nije njegovo raširenje stepena dva jer npr. jednačina nema rešenje u . Stoga je dokaz samona osnovu tih aksioma nemoguć, pa samim tim i dokaz potpuno algebharskim sredstvima.

Ako se pak aksiom(e) neprekidnosti zamene aksiomama

1. svaki pozitivan element tog polja ima kvadratni koren u tom polju,
2. svaki polinom neparnog stepena sa koeficijentima iz tog polja ima koren u tom polju,

tj. prihvate aksiome realno zatvorenih polja, postoje potuno algebarski dokazi da je algebarsko zatvorenje takvih polja njihovo raširenej stepena dva.

Problem: Da li se uz aksiome uređenih polja može koristiti još samo jedna od navedene dve aksiome ili se moraju koristiti obe?

Ako ovo nekoga bude zanimalo, a ne bude niko rešio, mogu da postavim rešenje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Sta fali dokazu teoreme iz Gojkove knjige:

Teorema. Polje je algebarski zatvoreno. I uopste, ako neko polje karakteristike nula nema pravih rasirenja neparnog stepena, njegovo kvadratno rasirenje je i algebarski zatvoreno, ako i samo ako nema rasirenja stepena dva.

U dokazu se koristi teorija Galua i prva Silovljeva teorema.

Iskreno, nisam se nesto udubljivao u tvoj post, to diranje mecke me nikada nije puno zanimalo iskreno, al koliko vidim, za ovaj dokaz koji sam spomenuo se koriste obe aksiome koje si naveo.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Ma, ne fali mu ništa, samo što nije potpuno algebarski jer se poziva na 1 i 2, što prethodno izvodi nealgebarski iz aksiome supremuma.

Nije poenta problema u "algebarskoj čistoći", već u tome da li iz aksioma uređenog polja i jedne od aksioma 1 i 2 sledi da je kvadratno raširenje svakog takvog polja algebarski zatvoreno ili ne sledi?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Mislim da ne moze. To ovako intuitivno. Al ne bih umeo da pokazem.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Odgovor je tačan. No, da vidimo hoće li se javiti još neko.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Moguće da nešto propuštam, ali zar nije prilično jednostavno? Čini mi se da je dovoljno krenuti od polja i ubaciti još „nešto“ unutra na taj način da se u jednoj odnosno drugoj varijanti dobije polje koje zadovoljava prvu predloženu aksiomu odnosno drugu predloženu aksiomu, a ne zadovoljava traženi zaključak. Pritom meni deluje prilično očigledno šta je to „nešto“ što ćemo ubaciti u prvom, odnosno drugom slučaju (no ne isključujem mogućnost greške). Zasad neću eksplicitno da napišem u slučaju da neko želi da razmisli još malo.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Da, treba naći dva uređena polja čija algebarska zatvorenja nisu njihova kvadratna proširenja, pri čemu prvo treba da zadovolji prvu aksiomu, a drugo drugu.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.