Najlepši zadaci

Pomoć: pretpostavimo suprotno (u želji da dobijemo kontradikciju). Dokazati najpre da, pod tom pretpostavkom, za svake dve tačke koje su obojene istom bojom središte duži koje one određuju mora biti obojeno suprotnom bojom. Zatim dokazati da je ovakvo bojenje nemoguće (za ovaj poslednji korak dovoljno je uzeti devet kolinearnih tačaka od kojih su svake dve susedne na jednakom rastojanju).

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Dakle, pretpostavimo suprotno, tj. da svaki trougao u toj ravni koji je sličan trouglu ABC, ima dva temena jedne i jedno druge boje. Npr. posmatramo neki sličan trougao EFG, i neka su mu temena E i F crvena, a G plavo. Posmatramo onda središta stranica trougla i uočavamo da, ako bi središte stranice EF bilo crveno, onda nijedno od druga dva središta, ne bi smelo da bude crveno, jer bi sa središtem EF i jednim od temena E i F davalo sličan "jednobojan" trougao, a tada su oba plava, pa sa preostalim temenom G daju sličan plavi trougao. Znači, središte svake duži čiji su krajevi iste boje, mora biti druge boje.

Ako posmatramo predloženih devet kolinearnih tačaka, pokušavanjem bojenja po pravilu o središtu duži, dolazimo kod svih mogućih kombinacija do nemogućnosti da obojimo neku od šeste do devete tačke.

Ovaj pristup mi nikad ne bi pao na pamet, razmišljala sam u pravcu kreiranja neke figure sastavljene od sličnih trouglova, koja bi u svakoj kombinaciji boja davala traženi trougao.

Hvala, Bojane. Možda sam ovim zadacima pokvarila suštinu konkursa Društva, ali previše je vremena prošlo od marta.

Potpis

"We are mathematicians, we are happy when we have a problem!"

Nije tačno da se tada (u opštem slučaju) uvek može naći trougao s jednobojim temenima. Kontraprimer: neka je fiksiran jednakostraničan trougao stranice 1. Ravan podelimo na vertikalne trake širine 1, zatvorene s leve strane a otvorene s desne, i obojimo naizmenično. Pri ovakvom bojenju ne možemo naći jediničan jednakostraničan trougao čija su sva tri temena iste boje.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Zar ne bi trebalo da su trake širine?

Potpis

"We are mathematicians, we are happy when we have a problem!"

Tačno, širine . Zahvaljujem na ispravci.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Dok je još 2013. da probamo i ovo:

Potpis

"We are mathematicians, we are happy when we have a problem!"

Niko nema vremena/volje da se pozabavi ovim zadatkom? Meni se baš dopada, ali nisam daleko odmakla u rešavanju. Zaključci do kojih se lako dolazi su sledeći:

- imaju iste ostatke pri deljenju sa 3
- ako je prirodan broj
onda .......................... (*)
tj. ,
pa kako
i

sledi da ili i .

S obzirom na (*), i da svakako , znamo da , te da je , možda možemo da posmatramo prvih nekoliko desetina kubova i donesemo zaključak... Ili ovo nije ni blizu pravog načina razmišljanja?

Potpis

"We are mathematicians, we are happy when we have a problem!"

je ekvivalentno sa (lako se provjeri).
.
Pretpostavimo da tj. , gdje .
Dobijamo da vrijedi .
Dakle za svako n postoji tako da vrijedi tvrdjenje pod a).

Lepo!
Ja sam imala skroz pogrešan prilaz, jer sam očekivala da ću doći do nekog gornjeg ograničenja i konačnog skupa rešenja.

Potpis

"We are mathematicians, we are happy when we have a problem!"

Idu dva kamiona jedan za drugim. Onaj oprednji ide ide pa stane, a onda iz njega iziđe vozač sa nekom močugom i počne da lupa po karoseriji i onda se opet vrati u kabinu i krene dalje, ali posle izvesnog vremena dogodi se opet to isto. Pošto se to često ponavljalo onda vozač iz zadnjeg kamiona upita vozača prednjeg kamiona šta se dešava. Ovaj mu odgovori da vozi nešto što mu spušta karoseriju na točkove i zakoči ih.
Šta je vozio?

Slona

Potpis

Eureka!

MILAN DJUKIC
D J U K A

Evo ja imam jedan lepi, ali ni sam nisam siguran u rješenje.

Zadan je niz od n znakova. Taj niz podelite na pomicne prozore duljine k.
Za svaki znak u nizu imate verovatnoću pogreške p.

Za zadane parametre p, k i n potrebno je odrediti očekivanje i varijancu broja pomičnih prozora bez ijedne greške.


Samo kratka napomena oko pomičnog prozora. Ako je n = 5, a k=2, tada pomični prozor izdvaja članove stringa s indeksima 12, 23, 34 i 45.

1. Dakle, svaki znak u stringu ima verovatnost p da je pogrešan (i taj p je isti za svaki znak u stringu).

2.Slučajnu promenjivu treba definirati na neki način... Ja sam probao baš tako da opisuje broj prozora bez greške, ali onda treba ozračunati verovatnosti da takvih prozora ima 0 ili 1 ili 2 ili .... n-k+1, a kad se to krene računati ispadne dosta složeno.
Primerice za n = 3 i k = 2 lako se vidi da broj prozora bez grške uvelike ovisi o "geometriji" grešaka.

3. Disperzija u smislu Var(X) = E(X^2) - E(X)^2.


Imam osjećaj da bi to mogao biti neki trik u pitanju?
Također mi je poznato daje ovo jedan tipova problema koji se javljaju u teoriji kompleksih mreža.

ZADATA IQ- XXX

Zbir dva prirodna broja, oba veca od 1 i manja od 50, poznat je osobi A, a njihov proizvod osobi B.
Oni vode ovakav razgovor.
Osoba A: “Ni ti ni ja ne znamo o kojim se brojevima radi”
Osoba B: “ U pravu si, ne znam brojeve”
Osoba A: “Ja ih jos uvek ne znam”
Osoba B: “Ja sada znam”
Osoba A: “I ja sada znam”
Koji brojevi su u pitanju?
Obrazloziti.

Potpis

/

ZADATA IQ- XXX

Zbir dva prirodna broja, oba veca od 1 i manja od 50, poznat je osobi A, a njihov proizvod osobi B.
Oni vode ovakav razgovor.
Osoba A: “Ni ti ni ja ne znamo o kojim se brojevima radi”
Osoba B: “ U pravu si, ne znam brojeve”
Osoba A: “Ja ih jos uvek ne znam”
Osoba B: “Ja sada znam”
Osoba A: “I ja sada znam”
Koji brojevi su u pitanju?
Obrazloziti.

Potpis

/