Logaritamska jednacina

Logaritamska jednacina 25.12.2011. u 21:09 · pre 180 meseci #1

Pozdrav svima,
imam problem sa logaritamskom jednacinom:

treba pronaci [a, b, c] za date parove [x,y]

x = 10, y = 3.94
x = 30, y = 5.015
x = 50, y = 5.27

odnosno treba resiti sistem jednacina.

Ja sam napravio samo jedan korak, sto i nije nesto :)

Molim za pomoc, posto ne znam postupak resavanja ovog sistema.

Hvala!!!

Potpis

DrekavaC

Re: Logaritamska jednacina 25.12.2011. u 21:33 · pre 180 meseci #2

Za date $x$ i $y$ izaberi bilo koje $a$ , bilo koje $b>-x$ i $c=y-a\ln(b+x)$ .

Dakle, opšte rešenje je $(a,b,c)=(u,v,y-u\ln(v+x))$ , za $v>-x$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Logaritamska jednacina 25.12.2011. u 21:57 · pre 180 meseci #3

A ja sam shvatio da treba uvrstiti $x$ i $y$ , 3 puta, i onda dobijemo sistem od tri jednacine po $a,b,c$ , tj.
$3,94=a\log_{10}(b+10)+c\\ 5,015=a\log_{10}(b+30)+c\\ 5,27=a\log_{10}(b+50)+c\\$
Jer je spomenuo sistem, mada jeste malo konfuzno (meni).

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Logaritamska jednacina 26.12.2011. u 00:06 · pre 180 meseci #4

Citat:

Sonec: A ja sam shvatio da treba uvrstiti $x$ i $y$ , 3 puta, i onda dobijemo sistem od tri jednacine po $a,b,c$ , tj.
$3,94=a\log_{10}(b+10)+c\\ 5,015=a\log_{10}(b+30)+c\\ 5,27=a\log_{10}(b+50)+c\\$
Jer je spomenuo sistem, mada jeste malo konfuzno (meni).

Upravo to i treba, da se reši sistem. Ali nikako da se pomerim dalje od postavljenog.
Može li neko uputstvo, ne znam uopšte koju zamenu/transformaciju da upotrebim, nije mi cilj samo rešenje.
Da li postoji način da se zadatak postavi u MatLAB-u i da se dobije postupak?

Potpis

DrekavaC

Re: Logaritamska jednacina 26.12.2011. u 00:41 · pre 180 meseci #5

Aha. Znači imamo sistem

(1) $a\log_{10}(b+10)+c=3.94\\ a\log_{10}(b+30)+c=5.015\\ a\log_{10}(b+50)+c=5.27\\$

Oduzimanjem prve dve jednačine od treće dobija se sistem

(2) $a\log_{10}\left(1-\frac{40}{b+50}\right)=1.33\\ a\log_{10}\left(1-\frac{20}{b+50}\right)=0.12\\ a\log_{10}(b+50)+c=5.27\\$

Uvođenjem smene $t=\frac{20}{b+50}$ dobijamo sistem

(3) $t=\frac{20}{b+50}\\ a\log_{10}(1-2t)=1.33\\ a\log_{10}(1-t)=0.12\\ a\log_{10}(b+50)+c=5.27\\$

Delenjem druge i treće jednačine dobijamo sistem

(4) $t=\frac{20}{b+50}\\ \frac{\log_{10}(1-2t)}{\log_{10}(1-t)}=\frac{1.33}{0.12}\\ a\log_{10}(1-t)=0.12\\ a\log_{10}(b+50)+c=5.27\\$

odnosno

(5) $\frac{\log_{10}(1-2t)}{\log_{10}(1-t)}=\frac{1.33}{0.12}\\ b=\frac{20}t-50\\ a=\frac{0.12}{\log_{10}(1-t)}\\ c=5.27-a\log_{10}(b+50)\\$

Dakle, sve se svodi na nalaženje pozitivnog rešenja jednačine

$(1-t)^{\frac{1.33}{0.12}}-1+2t=0$ .

To možeš da uradiš na primer metodom polovljenja. Rešenje je u intervalu $(0.4,0.5)$ .

Konačno:

$t=0.499768\\ b=-9.981461\\ a=0.3988979\\ c=4.630861$

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Logaritamska jednacina 26.12.2011. u 01:44 · pre 180 meseci #6

Citat:

Nedeljko: Aha. Znači imamo sistem

(1) $a\log_{10}(b+10)+c=3.94\\ a\log_{10}(b+30)+c=5.015\\ a\log_{10}(b+50)+c=5.27\\$

Oduzimanjem prve dve jednačine od treće dobija se sistem

(2) $a\log_{10}\left(1-\frac{40}{b+50}\right)=1.33\\ a\log_{10}\left(1-\frac{20}{b+50}\right)=0.12\\ a\log_{10}(b+50)+c=5.27\\$

Uvođenjem smene $t=\frac{20}{b+50}$ dobijamo sistem

(3) $t=\frac{20}{b+50}\\ a\log_{10}(1-2t)=1.33\\ a\log_{10}(1-t)=0.12\\ a\log_{10}(b+50)+c=5.27\\$
. . .

Nedeljko, hvala puno!!!!

Pozdrav!!

Potpis

DrekavaC

Re: Logaritamska jednacina (pomoc) 25.08.2013. u 15:58 · pre 160 meseci #7

Da li moze pomoc oko ove jednacine s parametrom, koja glasi: $x^{\log_{a}x}+4< a^{4}x$ gde je a iz $\mathbb{R}^{+}$ .
Krenuo sam ovako: $x^{\log_{a}x}+4<a^{\log_{a}a^{4}x}=a^{\log_{a}a^4+\log_{a}x}$ . Pa sam onda na ovo primenio $\log_{a}$ i diskutovao u zavisnoti od osnove kad je 0<a<1 i a>1. Medjutim iz ovih transformacija ne dobijam nista korisno. Probao sam i 4 da transformisem na slican nacin ali ne ide.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme