Registracija

funkcionalna jednacina

Odgovori Nova tema

1 odgovor
2.046 pregleda

funkcionalna jednacina 24.08.2013. u 17:03 · pre 160 meseci #1

Zdravo. Moze li pomoc oko ovog zadatka koji glasi: Naci sve funkcije f: Q→Q takve da je
$f(x+y)=f(x)f(y)+2(f(x)+f(y)+1)$ za svako x,y iz Q

Re: funkcionalna jednacina 24.08.2013. u 18:26 · pre 160 meseci #2

Za $g(x)=f(x)+2$ je

$g(x+y)=g(x)g(y)$ .

Indukcijom se dokazuje da je,

$g(nx)=g(x)^n$ .

Otuda je $g(1)=g(1/n)^n$ .

Jedini racionalni brojevi koji su $n$ -ti stepen racionalnog broja za svako $n$ su 0 i 1.

$g(1)=1$ ,
$g(1/n)=1$ ,
$g(m/n)=g(1/n)^m=1$ ,

ili

$g(1)=0$ ,
$g(1/n)=0$ ,
$g(m/n)=g(1/n)^m=0$ .

U svakom od slučajeva treba ispitati funkciju u nuli i na negativnim racionalnim brojevima.

Ako je $g(1)=1$ , onda je

$g(1+0)=g(1)g(0)$ ,
$g(0)=1$ ,
$g(x+(-x))=g(x)g(-x)$ ,
$g(x)=1$ .

Ako je $g(1)=0$ , onda je

$g(0)=g(1+(-1))=g(1)g(-1)=0\cdot g(-1)=0$ ,
$g(-x)=g(1+(-x-1))=g(1)g(-x-1)=0\cdot g(-x-1)=0$ ,

odnosno, jedine takve funkcije su $g(x)=0$ i $g(x)=1$ , odnosno

$f(x)=-2$ i $f(x)=-1$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme