tacno ili netacno: 24 casa

Re: tacno ili netacno: 24 casa 06.07.2013. u 02:02 · pre 162 meseca #41

Da li su prvih $n$ decimala broja $(6+\sqrt{35})^n$ devetke?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 06.07.2013. u 12:29 · pre 162 meseca #42

Dokazuje se u dva reda, ali ocigledno da tema nikoga ne zanima.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 06.07.2013. u 14:18 · pre 162 meseca #43

za broj

$(6+\sqrt{35})^n$

kada je n=16 onda ima 17 devetki kao pocetnih decimala, tj razlikuju se.

http://www.wolframalpha.com/in...%286%2B%5Csqrt%7B35%7D%29%5E16

11. pitanje........... 06.07.2013. u 14:26 · pre 162 meseca #44

evo nesto iz primenjene matematike.

kada je u 17. veku dekart pisao svoju studiju o sneznim pahuljicama, ispravno je utvrdio da njihov geometrijski oblik nije simetrican, a nije bio u pravu da su uvek sa 6 uglova (stranica, krakova..).

ono sto dekart nije znao je da se verovatnoca da, jedna za drugom, na zemlju, na isto mesto, padnu dve identicne pahuljice ne moze utvrditi.

tacno ili netacno?

Re: tacno ili netacno: 24 casa 06.07.2013. u 14:59 · pre 162 meseca #45

zaboravio sam da ne mogu hipoteze

pretpostavka je da ne postoje dva identicna geometrijska oblika sneznih pahuljica, pa se verovatnoca moze izracunati- verovatnoca da padnu dve iste je uvek nula.

moze neko drugi da postavi zadatak.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 06.07.2013. u 19:15 · pre 162 meseca #46

Citat:

number42: za broj

$(6+\sqrt{35})^n$

kada je n=16 onda ima 17 devetki kao pocetnih decimala, tj razlikuju se.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(6+sqrt{35})^16

Razlisli još jednom o ovom tvom primeru. Šta su prvih 16 decamala tog broja?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 06.07.2013. u 22:52 · pre 162 meseca #47

uklještenje između $11,9^n$ i $12^n$ , pa kako u $0.1^n$ imamo jedinicu na n-tom mestu...?

Potpis

"We are mathematicians, we are happy when we have a problem!"

Re: tacno ili netacno: 24 casa 06.07.2013. u 23:25 · pre 162 meseca #48

Hajde, elaboriraj. Ne mogu ovako da odgovaram.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 07.07.2013. u 00:01 · pre 162 meseca #49

Citat:

berazorica:
uklještenje između $11,9^n$ i $12^n$ , pa kako u $0.1^n$ imamo jedinicu na n-tom mestu...?

Tačno je da je:
$(11.9)^n < (6+\sqrt{35})^n < 12^n$

Kada bi pokazali da važi:
$12^n -(0.1)^n < (6+\sqrt{35})^n < 12^n$
Onda bi bilo dokazano tvrđenje.

Nažalost je:
$12^n -(0.1)^n > (11.9)^n$
Tako da nam "ukleštenje" ne pomaže.

Treba uvestu sudiju da nebi svako proizvoljno tumačio tačnost/netačnost zadatka.
Neko već odvalio da pošto
$(6+\sqrt{35})^{16}$ ima prvih 17 devetki iza decimalne tačke, ne stoji tačnost tvrđenja.

Tvrđenje je tačno.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 07.07.2013. u 00:42 · pre 162 meseca #50

^ da, videla sam da to nije to, ali ne mogu sad da razmišljam dalje, iako će da iscuri 24 sata

Potpis

"We are mathematicians, we are happy when we have a problem!"

Re: tacno ili netacno: 24 casa 07.07.2013. u 02:06 · pre 162 meseca #51

$(6+\sqrt{35})^n=((6+\sqrt{35})^n+(6-\sqrt{35})^n)-(6-\sqrt{35})^n$ .

Umanjenik je prirodan broj jer se neparni stepeni broja $\sqrt{35}$ krate, a umanjilac je pozitivan broj manji od $10^{-n}$ jer je

$(6-\sqrt{35})^n=\left(\frac 1{6+\sqrt{35}}\right)^n<\left(\frac 1{6+\sqrt{25}}\right)^n=11^{-n}<10^{-n}$ .

Stoga je $(6+\sqrt{35})^n$ razlika prirodnog broja i pozitivnog broja manjeg od $10^{-n}$ , pa su prvih $n$ decimala devetke.

Tačan odgovor na pitanje prvih koliko decimala su devetke tako da posle ide cifra različita od devetke $n\log_{10}(6+\sqrt{35})$ zaokrugleno na manji ceo broj. Na primer, za $n=100$ su prvih 107 decimala devetke, a 108-ma nije devetka.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: tacno ili netacno: 24 casa 07.07.2013. u 02:44 · pre 162 meseca #52

Kod broja $(6+\sqrt{35})^n$ iza 107 devetki ide 756. Kako to odrediti?

Pa, treba odrediti umanjilac. On glasi $(6+\sqrt{35})^{-n}=a\cdot 10^{-m}$ za neko realno $a\in(1/10,1)$ i neki prirodan broj $m$ . Logaritmovanjem dobijamo

$-n\log(6+\sqrt{35})=\log(a)-m$ ,
$m=\log(a)+n\log(6+\sqrt{35})$ ,

gde je $\log$ oznaka za dekadni logaritam. Obzirom da je $-1<\log(a)<0$ , zaključujemo da je $m$ ništa drugo do najveći ceo broj koji je manji od $\alpha=n\log(6+\sqrt{35})$ . Pritom je

$\log(a)=m-\alpha$ ,
$a=10^{m-\alpha}$ .

Stoga je za $n=100$

$(6+\sqrt{35})^{-n}=0.243...\cdot 10^{-107}$ .

Zapravo, decimale broja $(6+\sqrt{35})^n$ su iste kao decimale broja

$1-(6+\sqrt{35})^{-n}$ ,

a u ovom slučaju to je 107 devetki, pa 756...

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

11. pitanje................ 07.07.2013. u 20:01 · pre 162 meseca #53

prosti brojevi koji su isti od pocetka ili od kraja su palindromski prosti brojevi, npr 797, ili 15 451.

od nule do dvadeset hiljada svi palindromski prosti brojevi imaju neparan broj cifara.

true or false?

Re: tacno ili netacno: 24 casa 07.07.2013. u 20:33 · pre 162 meseca #54

True.

Svaki broj koji je palindrom i ima paran broj cifara je deljiv sa 11.
Tako da nema prostih palindroma među 4-cifrenim, 6-cifrenim, n2-cifrenim brojevima.

Neko drugi neka stavi pitanje.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 07.07.2013. u 21:00 · pre 162 meseca #55

Citat:

true

you spell the word 'false' very strange

broj 11 je palindromski prajm koji ima paran broj cifara.

jel mozes ukratko da postavis dokaz za ovo za nemogucnost palindromskog prajma sa parnim brojem cifara, hvala

Re: tacno ili netacno: 24 casa 07.07.2013. u 21:33 · pre 162 meseca #56

Hah, da u pravu si, na kraju sam prevideo 11.

Dokaz stvarno ne znam, primetio sam posmatrajući redove palindroma za parno-cifrene brojeve
da su uvek deljivi sa 11, tj. recept za dobijanje sledećeg plaindroma je dodati x*11 na trenutni ... npr:

1001 // Deljivo sa 11
1111 // +110
1221 // +110
1221 // +110
1331 // +110
....
1991 // +110
2002 // +11
2112 // +110
2222 // +110
...

100001 // Deljivo sa 11
101101 // + 1100
...

Zašto je to tako stvarno ne znam, a i da znam ne bih znao ovde da napišem i formulišem.
Očigledno da se radi o redovima i valjda bi se nekako dokazalo indukcijom, šta znam.

Evo ovde ima "nekakav" dokaz:
http://everything2.com/title/Palindromic+Prime

Re: tacno ili netacno: 24 casa 07.07.2013. u 22:12 · pre 162 meseca #57

@dusans,

hvala na objasnjenju, zanimljivo razmisljanje.
ono na linku nisam bas skontao da li je dokaz ili pretpostavka, jer ako dobro prevodim, covek kaze:

"palindromski brojevi sa parnim brojem cifara su u obliku zbira brojeva ciji je izraz $z*(10^y+1)*10^x$ "

ali ne kapiram cime je to dokazao.

bilo kako bilo, moze neko da postavi sledeci zadatak.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 07.07.2013. u 23:48 · pre 162 meseca #58

Neka prirodan broj $m$ ima dekadni zapis $d_n\cdots d_0$ . To znači da je

$m=\sum_{k=0}^nd_k\,10^k$ .

Po modulu 11 to izgleda ovako:

$m\equiv_{11}\sum_{k=0}^nd_k(-1)^k$

jer je $10\equiv_{11}-1$ .

Stoga je

$m\equiv_{11}(d_0+d_2+\cdots+d_{2[n/2]})-(d_1+d_3+\cdots+d_{2[(n-1)/2]+1})$ ,

gde je $[x]$ ceo deo od $x$ .

Primera radi,

$185294\equiv_{11}(4+2+8)-(9+5+1)$ .

Drugim rečima, ako ciframa na parnom mestu nazovemo cifre uz stepen broja 10 na paran broj (cifre jedinica, stotina itd.), a ciframa na neparnom mestu cifre uz 10 na neparan broj (cifre desetica, hiljada itd.), onda razlika zbira cifara na parnim mestima i zbira cifara na neparnim mestima ima isti ostatak pri delenju sa 11 kao broj čiji je to zapis.

Odatle sledi da je broj deljiv sa 11 akko je pomenuta razlika deljiva sa 11. To je poznat kriterijum deljivosti sa 11. Konkretno, kod palindroma sa parnim brojem cifara ti zbirovi su jednaki, pa im je razlika 0, što je svakako deljivo sa 11.

Na sličan način se može formulisati kriterijum deljivosti sa 7.

$10^0\equiv_71$ ,
$10^1\equiv_73$ ,
$10^2\equiv_72$ ,
$10^3\equiv_7-1$ ,
$10^4\equiv_7-3$ ,
$10^5\equiv_7-2$ ,

Obzirom da je $10^6\equiv_71$ , za svako $k,i$ je $10^{6k+i}=10^{6k}10^i=(10^6)^k10^i\equiv_71^k10^i=10^i$ , tj. ovaj niz se periodično ponavlja, pa je

$m\equiv_7\sum_{k\geq 0}((d_{6k}-d_{6k+3})+3(d_{6k+1}-d_{6k+4})+2(d_{6k+2}-d_{6k+5}))=\sum_{l=0}^nd_lt_l$ ,

gde je $t_i$ ostatak pri delenju $10^i$ sa 7, što je periodičan niz sa periodom 6.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 08.07.2013. u 00:04 · pre 162 meseca #59

To se mnogo lakse moglo reci:
Ako je 4-cifren, onda je tipa abba, sto znaci da je jednak 1001a+110b, sto je 11*91a+11*10b, sto je 11*(91a+10b), sto je deljivo sa 11. I ovo je moglo mnogo prostije ;)

Re: tacno ili netacno: 24 casa 08.07.2013. u 08:44 · pre 162 meseca #60

Ma da, moze ovako: 11 je deljivo sa 11, dakle svaki broj-palindrom je deljiv sa 11...

@Nedeljko
Ovde je bila slicna tema (skoro pre 10 godina), i ostao je jedan neresen zadatak koji sam smislio tada, a cija postavka u potpunosti krsi tacku 6. Pravlinika :) Mislim da jeste zanimljivo, pa mozda mozemo da probamo da to sada dokrajcimo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme