Potrebna pomoc-zadatak

Potrebna pomoc-zadatak 28.06.2013. u 01:28 · pre 162 meseca #1

Moze li mi neko, molim vas, pomoci da rijesim ova dva zadatka? Unaprijed hvala...

1. Odrediti sve parove (p,q) prostih brojeva takvih da p dijeli 6q-1 i q dijeli 6p-1.
2. Rijesiti u skupu cijelih brojeva sistem jednacina x+y-z=20, (korijen iz x)-(korijen iz y)+(korijen iz z)=10.

Potpis

Follow your dreams, they know the way...

Re: Potrebna pomoc-zadatak 28.06.2013. u 12:42 · pre 162 meseca #2

Dakle, postoje prirodni brojevi $k,l$ takvi da je

(1) $6q-1=kp$ ,
(2) $6p-1=lq$ .

Iz jednačine (1) je $k=\frac{6q-1}p$ , a iz (2) $p=\frac{lq+1}6$ , pa je

$k=6\frac{6q-1}{lq+1}<36$ ,

odnosno $k\in\{1,\dots,35\}$ .

Množenjem jednačine (2) sa $k$ dobija se

$6(kp)-k=lqk$ .
Odatle sledi da $p$ kao prost delioc broja $6q-1$ ne veći od 41 pripada skupu $\{5,7,11,13,17,29,37,41\}$ , pa $6p-1\in\{29,41,65,77,101,173,221,245\}$ .

Zamenjujući tu $kp$ iz prve jednačine je

$6(6q-1)-k=lqk$ ,
$(36-lk)q=k+6$ ,

odakle je $q\leq 35+6=41$ . Isti zaključak se izvodi za $p$ na analogan način, jer su uslovi zadatka simetrični. Dakle,

$q\in\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41\}$ , odnosno $6q-1\in\{11,17,29,41,65,77,101,113,137,173,185,221,245\}. Odatle sledi da p$ kao prost delioc broja $6q-1$ ne veći od 41 pripada skupu $\{5,7,11,13,17,29,37,41\}$ , pa $6p-1\in\{29,41,65,77,101,173,221,245\}$ .

Odatle sledi da $q$ kao prost delioc broja $6p-1$ ne veći od 41 pripada skupu $\{5,7,11,13,17,29,41\}$ , pa $6q-1\in\{29,41,65,77,101,173,245\}$ .

Odatle sledi da $p$ kao prost delioc broja $6q-1$ ne veći od 41 pripada skupu $\{5,7,11,13,29,41\}$ , pa $6p-1\in\{29,41,65,77,173,245\}$ .

No, skup prostih brojeva ne većih od 41 koji su delioci bar jednog broja iz skupa $\{29,41,65,77,173,245\}$ je upravo $\{5,7,11,13,29,41\}$ , pa ovde stajemo sa ovim delom postupka. i idemo na isprobavanje. Obzirom da su uslovi simetrični po $p$ i $q$ , možemo se ograničiti na traženje onih rešenja kod kojih je $p\leq q$ .

Ako je $p=5$ , onda je $q=29$ , ali $5\not|(6\cdot 29-1)$ , pa ova mogućnost otpada.

Ako je $p=7$ , onda je $q=41$ , pa pošto $7|(6\cdot 41-1)$ , jedno od rešenja je $p=7$ , $q=41$ .

Ako je $p=11$ , onda je $q=13$ , pa pošto $11|(6\cdot 13-1)$ , jedno od rešenja je $p=11$ , $q=13$ .

Ako je $p=13$ , onda je $q$ prost delilac broja 77, što je u suprotnosti sa $q\leq p$ .

Ako je $p=17$ , onda je $q=101$ , što je u suprotnosti sa $q\leq 41$ .

Ako je $p=19$ , onda je $q=113$ , što je u suprotnosti sa $q\leq 41$ .

Ako je $p=23$ , onda je $q=137$ , što je u suprotnosti sa $q\leq 41$ .

Ako je $p=29$ , onda je $q=173$ , što je u suprotnosti sa $q\leq 41$ .

Ako je $p=31$ , onda je $q=37$ , ali $31\not|(6\cdot 37-1)$ , pa ova mogućnost otpada.

Ako je $p=37$ , onda je $q$ prost delilac broja 221, što je u suprotnosti sa $q\leq p$ .

Ako je $p=41$ , onda je $q$ prost delilac broja 245, što je u suprotnosti sa $q\leq p$ .

Dakle, rešenja su parovi $(7,41)$ , $(11,13)$ , $(13,11)$ , $(41,7)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Potrebna pomoc-zadatak 28.06.2013. u 13:09 · pre 162 meseca #3

Što se drugog zadatka tiče, prvo izrazi $z$ preko prve jednačine, a onda to uvrsti u drugoj.

$\sqrt x-\sqrt y+\sqrt{x+y-20}=10$ .

Najpre treba primetiti da potkorene veličine moraju biti nenegativne da bi koreni bili definisani, odnosno $x\geq 0$ , $y\geq 0$ , $x+y\geq 20$ . Odmah se može zaključiti da je $x\leq 99$ . U suprotnom bi bilo $x\geq 100$ , a samim tim i

$\sqrt x+(\sqrt{(x-20)+y}-\sqrt y)\geq\sqrt{100}+(\sqrt{y+80}-\sqrt y)>10$

suprotno datoj jednačini. Dakle, za $x$ ima konačno mnogo mogućnosti (pripada skupu $\{0,\dots,99\}$ ).

Nastaviću kasnije.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Potrebna pomoc-zadatak 28.06.2013. u 14:03 · pre 162 meseca #4

Jednačina se može napisati u obliku

$\sqrt x+\sqrt{x+y-20}=10+\sqrt y$ .

Kvadriranjem ove jednačine i sređivanjem dobijamo

$\sqrt{x(x+y-20)}-10\sqrt y=60-x$ .

Ponovnim kvadriranjem i sređivanjem dobijamo

$120(x-30)+xy-20x+100y=20\sqrt{xy(x+y-20)}$ .

Ponovnim kvadriranjem dobijamo kvadratnu jednačinu po $y$ . Zamenom $x$ u jednačini vrednostima $0,\dots,99$ i rešavanjem jednačine nalazimo parove $(x,y)$ koji su kandidati za rešenja. Da bismo proverili da li su rešenja, treba proveriti da li "prolaze unatrag" kroz oba procesa kvadriranja. Naime, kvadrati različitih brojeva mogu biti jednaki samo ako su ti brojevi suprotnog znaka.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Potrebna pomoc-zadatak 28.06.2013. u 14:33 · pre 162 meseca #5

Hvala Vam puno, puno... Stvarno ste mi puno pomogli..
Samo, ako mogu da pitam za ovaj drugi zadatak... Dakle, ovu poslednju jednakost ponovo kvadriram i uvrstavam sve vrijednosti x od 0 do 99... Ako sam ja to dobro razumila... Ali, ja kad kvadriram, meni se bas zakomplikuje izraz... :(

Potpis

Follow your dreams, they know the way...

Re: Potrebna pomoc-zadatak 28.06.2013. u 14:45 · pre 162 meseca #6

Grupiši šta ide uz $y^2$ , šta uz $y$ , a šta uz slobodni član. To su konstante.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Potrebna pomoc-zadatak 28.06.2013. u 23:30 · pre 162 meseca #7

Prilažem izvorni kod programa koji mi je našao sva rešenja.

x = 36
y = 0
z = 16

x = 60
y = 60
z = 100

x = 64
y = 100
z = 144

x = 81
y = 900
z = 961

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

main.cpp2.36k

Re: Potrebna pomoc-zadatak 29.06.2013. u 00:10 · pre 162 meseca #8

Hvala Vam puno na ulozenom trudu i potrosenom vremenu...

Potpis

Follow your dreams, they know the way...

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme