Grinova funkcija konturnog problema.

Odgovori Nova tema

3 odgovora
2.464 pregleda

Grinova funkcija konturnog problema. 03.05.2013. u 09:46 · pre 164 meseca #1

Pozdrav,

Imam pitanje za jedan zadatak:
"Odrediti Greenovu funkciju konturnog problema xy''+y'=f(x), y'(1)=0, y(2)=0 a potom odrediti partikularno resenje date diferencijalne jednacine."

Jel moze neko da mi objasni kako se ovo radi? Nalazio sam na googlu neke stvari o Grinovoj funkciji na engleskom jeziku ali sve je bila teorija i nisam uspeo da skontam kako se radi. Znam da prvo treba da se nadje resenje homogene diferencijalne jednacine, xy''+y'=0. Opste resenje ove jednacine je y(x)=C₁*ln(x)+C₂.

Potpis

Re: Grinova funkcija konturnog problema. 06.05.2013. u 16:09 · pre 164 meseca #2

$xg''(x,s)+g'(x,s)=\delta(x-s)$ .

Opšte rešenje pri $x\neq s$ je

$g(x,s)=C_1\ln(x)+C_2$ za $x<s$ .
$g(x,s)=C_3\ln(x)+C_4$ za $x>s$ .

Uslov $g'(1,s)=0$ daje $C_1=0$ , a uslov $g(2,s)=0$ daje $C_4=-C_3\ln(2)$ . Stoga je

$g(x,s)=C_2$ za $x<s$ ,
$g(x,s)=C_3\ln(x/2)$ za $x>s$ .

Uslov neprekidnosti za $x=s$ kaže da je

$C_2=C_3\ln(s/2)$ .

Integracija jednačine po $x\in(s-\varepsilon,s+\varepsilon)$ puštajući da $\varepsilon$ teži nuli sa desne strane daje

$sg'(s_+,s)-sg'(s_-,s)=1$ ,
$C_3/s=1/s$ ,
$C_3=1$ .

Sada možemo zaključiti da je

$C_2=\ln(s/2)$ .

Dakle,

$g(x,s)=\ln(s/2)$ za $x<s$ ,
$g(x,s)=\ln(x/2)$ za $x>s$ ,

Konačno, rešenje je dato sa

$y(x)=\int_1^2f(s)g(x,s)\,ds=\int_1^xf(s)\ln(x/2)\,ds+\int_x^2f(s)\ln(s/2)\,ds=\ln(x/2)\int_1^xf(s)\,ds+\int_x^2f(s)\ln(s/2)\,ds$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Grinova funkcija konturnog problema. 07.05.2013. u 05:28 · pre 164 meseca #3

Hvala! A vezano za resenje jednacine, kako odredjujemo granice integrala? To pretpostavljam zavisi od datih uslova y(2) i y'(1). Da su uslovi bili y(1) i y(4) tad bi granice bile od 1 do 4?

Potpis

Re: Grinova funkcija konturnog problema. 07.05.2013. u 17:05 · pre 164 meseca #4

Da, iz graničnih uslova.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme