minimalna vrednost funkcije...

Uprosti uvek izraz od koga tražiš izvod.

$P(H)=\frac{3 V}{H}+\sqrt{3V} H^{-1} \left(H^3 \pi +3 V\right)^{\frac{1}{2}}$

$\frac{\text{dP}(H)}{\text{dH}}=-3 \frac{V}{H^2}+\text{ }\sqrt{3V} \left(-H^{-2}\left(H^3 \pi +3 V\right)^{\frac{1}{2}}+H^{-1}\frac{1}{2}\left(H^3 \pi +3 V\right)^{-\frac{1}{2}}3H^2\pi \right)$

$\frac{\text{dP}(H)}{\text{dH}}=0\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{3V} \left(-H^{-2}\left(H^3 \pi +3 V\right)^{\frac{1}{2}}+H^{-1}\frac{1}{2}\left(H^3 \pi +3 V\right)^{-\frac{1}{2}}3H^2\pi \right)=3 \frac{V}{H^2}$

Množiš sve sa H^2 (3V)^(-1/2).

$\left(-\left(H^3 \pi +3 V\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\left(H^3 \pi +3 V\right)^{-\frac{1}{2}}3H^3\pi \right)=\frac{3 V}{\sqrt{3V}}$

Smena H^3=t.

$t\frac{3\pi }{2}(t \pi +3 V)^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{3V}+(t \pi +3 V)^{\frac{1}{2}}$

$t\frac{3\pi }{2}=\sqrt{3V}(t \pi +3 V)^{\frac{1}{2}}+t \pi +3 V$

$\left(\frac{\pi t}{2}-3 V\right)^2=\left(\sqrt{3V}(t \pi +3 V)^{\frac{1}{2}}\right)^2$

$\frac{\pi ^2 t^2}{4}-6 \pi t V=0$

$t(\pi t-24 V)=0$

$t=\frac{24V}{\pi }$

$H=\sqrt[3]{\frac{24V}{\pi }}=2\sqrt[3]{\frac{3V}{\pi }}$

Da napomenem, mi ne znamo da li je u ovoj tački min ili max. Tačka (H, P(H)) je stacionarna tačka.

Ispostaviće se da jeste min. Npr. drugi izvod $\frac{d^2P}{d H^2}>0$ u tački $2\sqrt[3]{\frac{3V}{\pi }}$ .

EDIT: H>0, za H=0 imamo krug, pa nisam komentarisao t=0.

_{[Ovu poruku je menjao SrdjanR271 dana 30.12.2011. u 16:02 GMT+1]}

_{[Ovu poruku je menjao SrdjanR271 dana 30.12.2011. u 16:09 GMT+1]}

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Srodne teme