trigonometrijske jednacine

trigonometrijske jednacine 08.03.2011. u 22:16 · pre 190 meseci #1

Molim Vas, treba mi hitna pomoc kako da resim sledece zadatke:
1. Izracunaj ctg(alfa - beta), ako je sin alfa = 1/4, a cos beta = 1/5. Ja sam pokusala preko formule za ctg (alfa - beta) = (ctg alfa ctg beta + 1) / ctg beta - ctg alfa, ali ne znam kako dalje. Molim nekog da mi resi.
2. Dokazati da je (1+ sin alfa - cos alfa) / (1 + sin alfa + cos alfa) = tg alfa / 2.
Ovaj nisam ni znala da pocnem. tg alfa pola je sin alfa / (1 + cos alfa) ili (1 - cos alfa) / sin alfa.
Hvala unapred.

Potpis

K. Biljana

Re: trigonometrijske jednacine 08.03.2011. u 23:59 · pre 190 meseci #2

1.)prvo trebas nacrtati trigonometrijski krug,zatim na $y-osi$ nadjemo vrednost ${1 \over 4}$ i povucemo pravu $y={1 \over 4}$ koja je paralelna sa $x-osom$ .Ta prava sece trigonometrijski krug u tackama $A$ i $B$ ,zatim te tacke spojis sa koordinatnim pocetkom i dobices trazene uglove.Sada slicno ide i za $cos \beta={1 \over 5}$ samo sto sada nalazis ${1 \over 5}$ na $x-osi$ povuces pravu paralelnu sa pravom $y$ one seku kruznicu u nekim tackama spojis te tacke sa koordinatnim pocetkom i dobijes uglove.I sad nastavis dalje.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: trigonometrijske jednacine 09.03.2011. u 00:27 · pre 190 meseci #3

1. Izrazi kotangens od alfa i beta preko datih sinusa i kosinusa, vodeći računa o znaku. Rekao bih da rešenje nije jednoznačno.

2. $\sin\alpha=2\sin\frac\alpha 2\cos\frac\alpha 2$ . U brojiocu još iskoristi vezu $\cos\alpha=1-2\sin^2\frac\alpha 2$ , a u imeniocu $\cos\alpha=2\cos^2\frac\alpha 2-1$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: trigonometrijske jednacine 09.03.2011. u 00:52 · pre 190 meseci #4

Koristi vec dobro poznatu formulu $\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$ . Trebace ti trigonometrijski krug, jer recimo ako je $\sin \alpha = \frac{1}{4}$ , onda $\cos \alpha = \pm \sqrt{1-\sin^2{\alpha}}$ , jer je ovaj ugao smesten ili u prvom ili u drugom kvadrantu. Sada znas da je $\cot{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$ itd... Resenje nije jednoznacno, kao sto je Nedeljko vec rekao.

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Re: trigonometrijske jednacine 21.11.2011. u 14:36 · pre 181 mesec #5

Jel bi mi dao neko ideju kako da resim sledecu jednacinu? tgx + tg2x + tg3x = 0. Hvala unapred

Re: trigonometrijske jednacine 21.11.2011. u 14:48 · pre 181 mesec #6

tgx + tg2x + tg3x = 0
Mozda moze ovako $tg(3x) = tg(x+2x) = {tg(x)+tg(2x)\over 1-tg(x)tg(2x)}$
Pa mozes da izdvojis tg(x)+tg(2x) ispred zagrade:
$(tg(x)+tg(2x))\left(1+{1\over 1-tg(x)tg(2x)}\right)=0$

Re: trigonometrijske jednacine 21.11.2011. u 21:18 · pre 181 mesec #7

A mozes i ovako:
$\begin{array}{lcl} \hbox{tg}x + \hbox{tg}2x + \hbox{tg}3x = 0 \\ \hbox{tg}x + \hbox{tg}2x = -\hbox{tg}3x \\ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin {2x}}{\cos {2x}} = -\frac{\sin {3x}}{\cos {3x}} \\ \frac{\sin x \cdot \cos {2x} + \cos x \cdot \sin {2x}}{\cos x \cdot \cos {2x}} = -\frac{\sin {3x}}{\cos {3x}}\\ \sin {(x + 2x )}\cdot \cos 3x = - \sin {3x}\cdot \cos x \cdot \cos {2x} \\ \sin {3x} \cdot \cos {3x} + \sin 3x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = 0\\ \sin 3x \cdot(\cos 3x + \cos x \cdot \cos 2x)= 0 \\ \end{array}$
E sad, da vidimo sta cemo sa $\cos 3x + \cos x \cdot \cos 2x=0$ (kad posmatramo taj slucaj). Pa
$\begin{array}{lcl} \cos 3x + \cos x \cdot \cos 2x=0 \\ \cos(x+2x)+ \cos x \cdot \cos 2x=0\\ 2\cos x \cdot \cos 2x-\sin x \cdot \sin2x=0\\ 2\cos x \cdot (2\cos^2x-1)-2\sin^2x \cdot \cos x=0\\ \cos x \cdot (2\cos^2x-1)-(1-\cos^2x)\cdot \cos x=0\\ \end{array}$
Uvedes smenu $\cos x=t$ , pri cemu je $|t|\leq1$ i resis po $t$ , vratis itd, itd...
Posle ces lako naci resenja.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: trigonometrijske jednacine 22.11.2011. u 18:39 · pre 181 mesec #8

Radio sam na onaj prvi nacin. Na kraju dobijem (tgx)^2= 1/2. I to resim. I jos, x = k*pi/3, kao resenje jednacine tgx + tg2x = 0. Probacu i ovaj drugi. Je li dobar rezultat?

Re: trigonometrijske jednacine 22.11.2011. u 19:54 · pre 181 mesec #9

Proveri preko Wolframa

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: trigonometrijske jednacine 24.11.2011. u 16:53 · pre 181 mesec #10

Ne ispada isto. Mada je moguce da su ta resenja napisana u drugom obliku....

Re: trigonometrijske jednacine 24.11.2011. u 18:27 · pre 181 mesec #11

Verovatno. Kada sam radio jednu trigonometrijsku jednačinu, otkucao je sam u Wolfram-u, dobio sam dosta složeno rešenje. Kada sam uspeo da rešim jednačinu, dobio sam kao u rešenjima, i rešenje je krajnje prosto. Dešava se.

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: trigonometrijske jednacine 06.01.2012. u 09:27 · pre 180 meseci #12

Resavao sam jednacinu $sinx+ \sqrt{3}cosx=2$ na dva nacina, i nisam dobio bas ista resenja. Prvi nacin svodi datu jednacinu na $sin(x+ \frac {\pi}{3} )=1$ , a iz drugog dobijam $cosx= \frac { \sqrt{3}}{2}$ . Pitanje je jesu li resenja ovih jednacina ista? Hvala :D

Re: trigonometrijske jednacine 06.01.2012. u 09:55 · pre 180 meseci #13

$\cos{(-\frac{\pi}{6})}=\frac { \sqrt{3}}{2}, sin(-\frac{\pi}{6} + \frac {\pi}{3} ) \neq 1$

Re: trigonometrijske jednacine 06.01.2012. u 11:01 · pre 180 meseci #14

$\sin x + \sqrt{3}\cdot \cos x = 2$ Podelis jednacinu sa 2.
$\frac{1}{2} \cdot \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos x = 1$
$\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{\pi}{3} = \cos \frac{\pi}{6}$
$\frac{1}{2} \cdot \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos x = \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos x = 1$
$\frac{1}{2} \cdot \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos x = \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x + \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x = 1$

I $\cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos x = 1$
$\sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = 1$
$\frac{\pi}{3} + x = \frac{\pi}{2} + 2K\pi , K \in Z$
$x = \frac{\pi}{6} + 2K\pi, K \in Z$

II $\sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x + \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x = 1$
$\cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = 1$
$x - \frac{\pi}{6} = 0 + 2K\pi, K \in Z$
$x = \frac{\pi}{6} + 2K\pi, K \in Z$

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: trigonometrijske jednacine 06.01.2012. u 11:08 · pre 180 meseci #15

U redu za uvodjenje pomocnog argumenta. Ali ja sam radio i metodu zamene, Pravio sistem sa osnovnim trigonometrijskim identitetom, i jednacinu sveo na $cosx= \frac { \sqrt{3}}{2}$ . Njena resenja su : $x= \frac {\pi}{6} +2k \pi$ i $x=-\frac {\pi}{6} +2k \pi$ . Sta sa ovim drugim resenjem? Nisam bas najbolje razumeo

Re: trigonometrijske jednacine 06.01.2012. u 11:28 · pre 180 meseci #16

Posto ne vidim postupak, mogu samo da nagadjam da si uvodjenjem osnovnog trigonometrijskog identita ili mozda kvadriranjem negde izgubio znak, npr kao kad kvadriras x=1 i dobijes x^2=1 sto sad ima 2 resenja, 1 i -1.

1

Re: trigonometrijske jednacine 06.01.2012. u 11:51 · pre 180 meseci #17

sin x izrazim iz date jednacine i zamenim u identitetu. Dobijem kvadratnu jednacinu po cos x: $4 cos^2x-4 \sqrt{3}cosx+3=0$ . Resenje je jedinstveno....

untitled.GIF5.61k

Re: trigonometrijske jednacine 06.01.2012. u 12:13 · pre 180 meseci #18

Kada si izrazio iz linearne jednacine sin preko cos-a i zamenio u kvadratnu jednacinu, izgubio si znak te veze, dakle treba ti dodatni uslov;
$sin x = 2-\sqrt{3} cos x \geq 2-\sqrt{3}$

Re: trigonometrijske jednacine 06.01.2012. u 13:25 · pre 180 meseci #19

$sinx=2- \sqrt{3}cosx$ . Jel si mislio na to da ovaj desni izraz mora da bude izmedju -1 i 1? Pa se resi ta nejednacina?

Re: trigonometrijske jednacine 06.01.2012. u 13:34 · pre 180 meseci #20

Pa, u principu, osnovni identitet ne dozvoljava da vrednosti budu van inervala [-1,1] tako da nije to problem. Problem je u tome sto je
$(2-\sqrt{3}cosx)^2=(\sqrt{3}cosx-2)^2$ ali $2-\sqrt{3}cosx\neq \sqrt{3}cosx-2$

1

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme