trigonometrijske jednacine

Re: trigonometrijske jednacine 08.01.2012. u 21:38 · pre 180 meseci #41

Kako da nadjem ovo drugo resenje?

Re: trigonometrijske jednacine 08.01.2012. u 21:57 · pre 180 meseci #42

$\sin 2x=\frac{1}{2}\\ 2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \vee 2x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\\ x=\frac{\pi}{12}+k\pi \vee x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$
Ajmo, da bismo sveli na period $2k\pi$ da vidimo koja su to resenja na segmentu $[0,2\pi]$ :
$x=\frac{\pi}{12},x=\frac{\pi}{12}+\pi=\frac{13\pi}{12},x=\frac{5\pi}{12},x=\frac{5\pi}{12}+\pi=\frac{17\pi}{12}$
I onda proveris koja ti resenja pasuju, i na njih dodas sad period $2k\pi$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: trigonometrijske jednacine 08.01.2012. u 22:22 · pre 180 meseci #43

A zasto svodimo period na 2k pi ? Jel to znaci da dobijena resenja nisu tacna? Ili je to u vezi sa uslovima oko definisanosti korena polazne jednacine?

Re: trigonometrijske jednacine 09.01.2012. u 10:28 · pre 180 meseci #44

Uspeo sam da dobijem tacna resenja na sledeci nacin. Nadam se da je ispravan:

ij.GIF6.42k

Re: trigonometrijske jednacine 09.01.2012. u 11:38 · pre 180 meseci #45

Generalno govoreci (nisam previse ulazio u resenja koja si dao), od nacina resavanja ne sme da zavisi tacnost resenja. Hocu da kazem, kakav god metod izabrao, ako radis ispravno, moras dobiti tacna resenja.
Naravno, moze postojati primereniji (ili jednostavniji) metod za neku klasu jednacina/nejednacina.

Dakle, kako bi ti sad odlucio kojom metodom da krenes, ovom poslednjom ili onom prethodnom? Kako ces biti siguran da je resenje koje si dobio dobro? Ako ispravno radis, imas jedan niz implikacija,
koji ti garantuje da se sva resenja polazne jednacine nalaze u skupu koji si dobio na kraju. Ali koja od njih si dobra? Pa, generalno, to se vidi zamenom resenja u polaznu jednacinu, sto nekad moze da bude komplikovano.
Drugi nacin da odvojis zito od kukolja je da postavljas uslove pri kojima nesto vazi, tako da umesto implikacija dobijas niz ekvivalencija, i onda to garantuje tacnost svih dobijenih resenja.

Sto se tice prethodnog resenja, moguce je da je i ono dobro, ali nije tako jednostavno dobiti koja od resenja zadovoljavaju postavljene uslove. Zato ti je Sonec rekao da ih svedes na 2kpi, jer se tako lakse uporedjuju.
Doduse, imas tu taj neprijatan arcsin(2/5), pa to jos dodatno otezava poredjenje. Ali ako to uradis na ispravan nacin, sigurno dobijas tacno resenje.

1

Re: trigonometrijske jednacine 09.01.2012. u 14:47 · pre 180 meseci #46

Ok, hvala na vrlo korisnom savetu. Doduse, potrebno mi je vise matematickog iskustva, da bih i sam osetio strogost matematickog zakljucivanja. Krenem da resavam na jedan nacin, vidim da ne ispada kako treba i odmah trazim drugi... Slazem se da je to pogresno.

Re: trigonometrijske jednacine 10.01.2012. u 22:22 · pre 180 meseci #47

Imam jos jedno pitanje: Kako je najlakse sklopiti zajednicko resenje za neku trigonometrijsku jednacinu. Npr $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ i $x=-\frac{\pi}{4}+n\pi$ se spaja u $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$ ? Moze li to bez ispisivanja resenja jednog, pa drugog skupa i nalazenja veze izmedju njih? Hvala.

Re: trigonometrijske jednacine 11.01.2012. u 10:17 · pre 180 meseci #48

Pa jedino sto mi pada na pamet jeste da vidis da li je jedna klasa resenja u aritmetickoj sredini druge:
$\frac{-\frac{\pi}{4}+n\pi + -\frac{\pi}{4}+(n+1)\pi}{2} = \frac{-\frac{\pi}{2}+2n\pi + \pi}{2}=\frac{\frac{\pi}{2}+2n\pi}{2}=\frac{\pi}{4}+n\pi$

Re: trigonometrijske jednacine 11.01.2012. u 10:41 · pre 180 meseci #49

To je nesto sto me jako buni, jer se u resenjima mnogih zbirki nalazi samo zajednicko resenje. I prva pomisao: greska. Ono naravno, nije greska ako ostavimo resenja tako. Negde sam procitao da ukoliko dobijemo dva resenja (kao u primeru koji sam naveo), i ako oni u trigonometrijskom krugu obrazuju 180 stepeni, u zajednickom resenju se pise period kpi. E sad, ostaje da nagadjam, ako (kao u mom primeru) obrazuju 90 stepeni, period je kpi/2.

Re: trigonometrijske jednacine 11.01.2012. u 10:55 · pre 180 meseci #50

Pa ne mora da vazi, recimo da si imao $x_1=-\frac{\pi}{4}+2k\pi$ i $x_2=\frac{\pi}{4}+2l\pi$ njihovo zajednicko resenje nije $x=\frac{\pi}{4}+\frac{m\pi}{2}$ , nije ni $x=\frac{\pi}{4}+{n\pi}$
Al mozda ako ona (resenja) obrazuju ugao koji je polovina perioda i jednog i drugog resenja, onda mozemo da smanjimo period tako sto cemo da ga podelimo sa 2 (i dodamo ugao od jednog resenja).
Mozda je tu caka, a mozda i nije. Al mislim, uvek mozes da nacrtas malo vise resenja, i jedna i druga, i onda da uocis neku pravilnost (ukoliko ona postoji).

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: trigonometrijske jednacine 11.01.2012. u 10:57 · pre 180 meseci #51

Nije bas nagadjanje, ako su resenja oblika $\alpha_{1,2} + \frac{k}{n}\pi$ onda je jedini nacin da ih "skupis" da, kao u proslom primeru, oni predstavljaju uglove cija je razlika konstantna, i naravno jednaka $\frac{k}{2n}$

A sto se tice perioda, pa pi/2 radijana ti je zapravo 90 stepeni :)

Re: trigonometrijske jednacine 13.05.2012. u 14:07 · pre 176 meseci #52

Jel moze predlog kako da resim sledecu jednacinu: $2cos^2((x^2+x)/3))=3^x+3^\(-x$ . Vidi se da je resenje 0. Ali kako doci do toga?

Re: trigonometrijske jednacine 13.05.2012. u 14:48 · pre 176 meseci #53

Pa, funkcija $t+1/t$ za $t>0$ dostiže minimum u tački $t=1$ . Zaista, za $u=t-1$ je

$t+1/t=u+1+\frac 1{u+1}=\frac{u^2+2u+2}{u+1}=2+\frac{u^2}{u+1}$

ili

$t+1/t=2+\frac{(t-1)^2}t$ .

Dakle, za $t=3^x$ se dobija da je desna strana jednakosti uvek veća od 2, osim u tački 0 gde je vrednost jednaka 2, a leva strana jednakosti je uvek manja ili jednaka od 2 (zbog $|\cos|\leq 1$ ). Stoga je jedino eventualno rešenje $x=0$ za šta se neposrednom proverom utvrđuje da jeste rešenje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme