zadatak iz polinoma

zadatak iz polinoma 10.11.2011. u 19:40 · pre 182 meseca #1

odrediti karaktaristicne vrijednosti matrice A= 0 1 1 -1
1 0 -1 1
1 -1 0 1
-1 1 1 0
a zatim koristeci Hornevu shemu ispitati da li je Z0=-1 nule karaktaristicnog polinoma

Re: zadatak iz polinoma 10.11.2011. u 19:43 · pre 182 meseca #2

Lep zadatak.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: zadatak iz polinoma 11.11.2011. u 03:21 · pre 182 meseca #3

Jel znaš šta je karakteristična matrica date matrice A?
Jel znaš šta je karakteristični polinom?
Jel znaš šta su karakteristične vrednosti?

Što reče Srđan baš "lep zadatak".

Može i da se produži (ako je tačno ovo pod c):

c) Ispitati da li matrica A dopušta dijagonalizaciju?
d) Naći njoj sličnu dijagonalnu matricu B.
e) Naći matricu prelaska P, takvu da važi A*P = P*B.
f) Za svaku karakterističnu vrednost odrediti karakteristične vektore, bazu i dimeziju vektorskog prostora.
g) Naći minimalni polinom matrice A.
h) Izračunati matricu A^n
i) Dokazati matematičkom indukcijom trvđenje pod h)

Standardan zadatak sa ispita iz predmeta "Linerana algebra i polinomi" na PMF-u.
Rešenje je na oko 17 sitno pisanih stranica, A4 formata.
Ko ga uradi bez greške automatski je oslobođen usmenog dela ispita.

1

Re: zadatak iz polinoma 11.11.2011. u 03:23 · pre 182 meseca #4

Karakteristični polinom matrice A formata nxn je polinom

$f(\lambda )=|\text{\lambda I}-A|=(-1)^n|A-\text{\lambda I}|.$

$A=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right)$

$|A-\lambda I|=\left|\left( \begin{array}{cccc} -\lambda & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -\lambda & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -\lambda & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -\lambda \end{array} \right)\right| \begin{array}{c} \begin{array}{c} I_v\leftrightarrow \text{IV}_v \\ \sim \end{array} \\ \square \end{array} -\left| \begin{array}{cccc} -1 & 1 & 1 & -\lambda \\ 1 & -\lambda & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -\lambda & 1 \\ -\lambda & 1 & 1 & -1 \end{array} \right| \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} I_v+\text{II}_v \\ I_v+\text{III}_v \end{array} \\ \sim \end{array} \\ -\lambda I_v+\text{IV}_v \end{array} \\ \square \end{array} -\left| \begin{array}{cccc} -1 & 1 & 1 & -\lambda \\ 0 & 1-\lambda & 0 & 1-\lambda \\ 0 & 0 & 1-\lambda & 1-\lambda \\ 0 & 1-\lambda & 1-\lambda & \lambda ^2-1 \end{array} \right| \begin{array}{c} \begin{array}{c} -\text{II}_v+\text{IV}_v \\ \sim \end{array} \\ \square \end{array}$

$\sim-\left| \begin{array}{cccc} -1 & 1 & 1 & -\lambda \\ 0 & 1-\lambda & 0 & 1-\lambda \\ 0 & 0 & 1-\lambda & 1-\lambda \\ 0 & 0 & 1-\lambda & \lambda ^2+\lambda -2 \end{array} \right| \begin{array}{c} \begin{array}{c} -\text{III}_v+\text{IV}_v \\ \sim \end{array} \\ \square \end{array} -\left|\begin{array}{cccc} -1 & 1 & 1 & -\lambda \\ 0 & 1-\lambda & 0 & 1-\lambda \\ 0 & 0 & 1-\lambda & 1-\lambda \\ 0 & 0 & 0 & \lambda ^2+2\lambda -3 \end{array} \right|=(1-\lambda )^2\left(\lambda ^2+2\lambda -3\right).$

Konačno karakteristični polinom je:

$f(\lambda )=|A-\lambda I}|=(1-\lambda )^2\left(\lambda ^2+2\lambda -3\right)=(1-\lambda )^2(\lambda -1) (\lambda +3)=(\lambda -1)^3 (\lambda +3),$

pa su karaktaristicne vrednosti matrice {-3,1,1,1}.

Minimalni polinom je $g(\lambda )=(\lambda -1) (\lambda +3).$

Trag matrice je $tr(A)=-3+1+1+1=0.$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: zadatak iz polinoma 11.11.2011. u 11:25 · pre 182 meseca #5

hvala puno Srdjane

1

Re: zadatak iz polinoma 11.11.2011. u 23:17 · pre 182 meseca #6

al kako ovo (-3,1,1,1)???

Re: zadatak iz polinoma 11.11.2011. u 23:35 · pre 182 meseca #7

Sopstvene vrednosti predstavljaju nule karakteristicnog polinoma, a to su u ovom primeru -3 i 1.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: zadatak iz polinoma 11.11.2011. u 23:37 · pre 182 meseca #8

Da,skontao sam to,al odakle ono ostalo (1,1)??

Re: zadatak iz polinoma 11.11.2011. u 23:42 · pre 182 meseca #9

Srdjan je napisao ispravno, al mozda konfuzno za tebe, jer $\{-3,1,1,1\}=\{-3,1\}$ . To je skup, a ne uredjena n-torka. Odnosno $\lambda_1=-3$ i $\lambda_2=1$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: zadatak iz polinoma 11.11.2011. u 23:45 · pre 182 meseca #10

pa jeste konfuzno jer je Srdjan na kraju napiso tr(A)=-3+1+1+1=0. zato mi je bilo cudno a Hvala ti

Re: zadatak iz polinoma 12.11.2011. u 00:10 · pre 182 meseca #11

Neka je $A\in Mn(R)$ i $A=\left[\matrix{% a_{11}& a_{12}& a_{13}&\dots&a_{1n} \cr a_{21} & a_{22} & a_{23} &\dots & a_{2n} \cr . & . &.& .&. \cr . & . & . & .&.\cr a_{n1} & a_{n2} & a_{n3}& \dots & a_{nn}}\right]$ . Tada je $\hbox{tr}(A)=\sum_{k=1}^{n}{a_{kk}}=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$ .

U nasem primeru: $A=\left[\matrix{% 0 & 1 & 1 & -1 \cr 1 & 0 & -1 & 1 \cr 1 & -1 & 0 & 1 \cr -1 & 1 & 1 & 0}\right]$ , pa je $\hbox{tr}(A)=0+0+0+0=0$
E sad, da li mora biti ispunjeno da je zbir nula karakteristicnog polinoma jednak tragu (ovo zakljucujem iz Srdjanovog posta), ja ne znam.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: zadatak iz polinoma 12.11.2011. u 02:11 · pre 182 meseca #12

Citat:

real one: al kako ovo (-3,1,1,1)???

$(1-\lambda)^3=0<=>(1-\lambda)(1-\lambda)(1-\lambda)=0$

zato je $\lambda=1$ tri puta. 1 je nula karakterističnog polinoma višestrukosti tri.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

1

Re: zadatak iz polinoma 12.11.2011. u 02:17 · pre 182 meseca #13

Citat:

Sonec:

E sad, da li mora biti ispunjeno da je zbir nula karakteristicnog polinoma jednak tragu (ovo zakljucujem iz Srdjanovog posta), ja ne znam.

Uvek. (Mora)

Trag je uvek jednak sumi svojstvenih vrednosti.

Da nisam računao višestrukost ne bih dobio nula.

http://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: zadatak iz polinoma 12.11.2011. u 10:07 · pre 182 meseca #14

Suma svojstvenih vrednosti jednaka je tragu matrice, a proizvod determinanti. To lako sledi iz Vijetovih formula i definicije karakterističnog polinoma.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: zadatak iz polinoma 12.11.2011. u 10:27 · pre 182 meseca #15

Tacno tako. Potpuno sam zaboravio. Evo, lako se pokazuje za matricu reda 2. Neka je $A=\left[\matrix{% a_{11} & a_{12} \cr a_{21} & a_{22}} \right]$ . Tada je $\chi(A)=\hbox{det}(A-\lambda E)=(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)-a_{12}a_{21}={\lambda}^2-(a_{11}+a_{22})\lambda+a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}={\lambda}^2-\hbox{tr}(A)\lambda+\hbox{det}(A)$

I onda prema Vijetovim formulama sledi da je suma svojstvenih vrednosti jednaka tragu matrice, a proizvod determinanti. (kao sto je i Nedeljko rekao)

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: zadatak iz polinoma 08.01.2012. u 01:22 · pre 180 meseci #16

3.[5+5] a) Odrediti sve nule kompleksnog polinoma P(u indexu 5) = ix^5 +1
b) Neka je K skup svih nula polinoma P5(x). Ispitati koje osobine posjeduje al-
gebarska struktura (K,*), gdje je * mnozenje kompleksnih brojeva.
Moze pomoc? Hvala unaprijed!

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme