Samo tri zadačića

"Samo" tri zadačića 01.09.2011. u 15:27 · pre 184 meseca #1

1. Riješi jednačinu $x^4-x^3+〖2x〗^2-4x-8=0$ Ovaj ne znam kako da uradim probavao sam svakakve kombinacije i udruživanja ali ne ide...

2. $〖log〗_2 (〖log〗_4 (〖log〗_3 x)=-1$

Ovaj zadatak radim ovako do $(〖log〗_4 (〖log〗_3 x)=2^(-1)=1/2 ; 〖log〗_3 x= 4^(1/2$ ) . I sad da li uzimam da je $〖log〗_3 x$ jednako 2 i -2 pa da jednačina ima 2 rješenja????

3. I ovaj ne znam pravilan postupak pa ako neko zna kako matematički ispravno ovo da odradim molim za savjet

Sorry ne znam korijen pisati preko latex

Re: "Samo" tri zadačića 01.09.2011. u 15:40 · pre 184 meseca #2

2. $4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$

imaj u vidu da je $\sqrt{a^2}=|a|$ , a tebi je ovde $a=\pm2$ , pa je resenje 2 (odnosno, uvek pozitivan broj)

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: "Samo" tri zadačića 01.09.2011. u 15:44 · pre 184 meseca #3

Sorry ali nije mi jasno zasto samo 2 pa moćže ići i 3 na -2

Re: "Samo" tri zadačića 01.09.2011. u 15:50 · pre 184 meseca #4

3. $\sqrt{|40\sqrt{2}-57|}=\sqrt{57-40\sqrt{2}}=\sqrt{5^2-2\cdot5\cdot4\sqrt{2}+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{(5-4\sqrt{2})^2}=4\sqrt{2}-5$

Dalje pokusaj sam.

Nije mi jasno sta si hteo reci, kako mislis 3 da ide na -2?

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: "Samo" tri zadačića 01.09.2011. u 15:53 · pre 184 meseca #5

zaboravio sam navesti da rješenje mora biti u skupu cijelih brojeva

Re: "Samo" tri zadačića 01.09.2011. u 15:59 · pre 184 meseca #6

pa zar ovaj treći ne treba staviti da je to neki npr broj m, a onda kvadrirati lijevu i desnu stranu jednakosti. Mene zbunjuje prvi korijen sa apss. vrijednosti tj $\sqrt{|40\sqrt{2}-57|}$ da li se uzima $\sqrt{57-40\sqrt{2}}$ ili suprotan broj ??? Rješenje po zadatku mora biti u skupu Z

Re: "Samo" tri zadačića 01.09.2011. u 16:04 · pre 184 meseca #7

$|40\sqrt{2}-57|=57-40\sqrt{2}$ jer je $57>40\sqrt{2}$ , 57 je malo vece (za jedno 0.4, to sam proverio), al mogla je da se odredjeno vreme vuce ova apsolutna, a ovo sto sam ja uradio je samo jedan deo, pa sam ostavio tebi da resis drugi deo, pa ce se verovatno kada se to sve sredi neke stvari skratiti, a samim tim ce i resenje biti u $\mathabb{Z}$

imas ovde za 2. pitanje http://www.elitesecurity.org/t28735-0

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: "Samo" tri zadačića 01.09.2011. u 16:31 · pre 184 meseca #8

Pročitao i sad mi je jasno. također i 2. zadatak je jasan (sad :) )

Znaš li šta da radim sa prvim (kako ovaj polinom rastaviti na faktore) ako je to način rješavanja.
baš te maltretiram

Re: "Samo" tri zadačića 01.09.2011. u 16:36 · pre 184 meseca #9

ma opusteno, samo mi reci dal treba da stoji $(2x)^2$ ili $2x^2$ ? posto si na nekoj prethodnoj temi napisao drugacije...

ako treba ovako kako si napisao, koliko ja primecujem, 2 je jedna od nula ovog polinoma, pa za pocetak mozes da podelis ovaj polinom sa $x-2$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: "Samo" tri zadačića 01.09.2011. u 16:44 · pre 184 meseca #10

1.
$x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = 0$
Pomocu Bezuove teoreme mozemo da rastavimo ovaj polinom. Odredimo nulu polinoma $x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = 0$ . Nula je $2$ . Prema Bezuovoj teoremi ovaj polinom je deljiv sa $x - 2$ . Podelimo ovaj polinom sa $x - 2$ .
$( x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x - 8 ) : ( x - 2 ) = x^3 + x^2 + 4x + 4$
Sada mozemo da rastavimo polinom $x^3 + x^2 + 4x + 4$ zdruzivanjem.
$x^3 + x^2 + 4x + 4 = x^2( x + 1 ) + 4( x + 1 ) = (x^2 + 4)(x+1)$
$x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = (x^2 + 4)(x+1)(x-2)$
$x_1=-1 , x_2=2, x^2 = -4 \Longrightarrow x_{3,4}= \pm 2i$
Ako zadatak treba da se resi u skupu realnih brojeva, samo izostavi kompleksno resenje.

2.
$\log_2( \log_4(\log_3 x )) = -1$
$\log_4(\log_3 x) = 2^{-1}$
$\log_4(\log_3 x) = \frac{1}{2}$
$\log_3 x = 4^\frac{1}{2}$
$\log_3 x = \sqrt{4}$
$\log_3 x = 2$
$x = 3^2$
$x = 9$

Koren u $\LaTeX$ -u kucas "\sqrt{}", samo stavis jos $\LaTeX$ tagove, a potkorenu velicinu kucas izmedju zagrada.

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: "Samo" tri zadačića 01.09.2011. u 17:31 · pre 184 meseca #11

$2x^2$

Re: "Samo" tri zadačića 01.09.2011. u 22:18 · pre 184 meseca #12

$1*x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = 0$

Ako ima racionalnih rešenja oblika p/q onda je p delilac od -8 a q delilac od 1.
Kandidati za racionalna rešenja su: 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8 i -8.
Direktnom zamenom proveriš da jednačinu zadovoljavalju samo X = -1 i X = 2.
Polinom je deljiv sa (X+1) i sa (X-2), a pošto su oni uzajmno prosti, onda je deljiv sa njihovim proizvodom.

$(x+1)*(x-2) = x^2 - x - 2 Onda poedeliš: ( x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x - 8 ) : ( x^2 - x -2) = x^2 + 4 Posledica je: ( x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x - 8 ) = ( x^2 - x -2)*( x^2 + 4) = 0$

Rešenja su:
X1 = -1, X2 = 2, X3 = 2*i, X4 = -2*i, kao i sve njihove permutacije, jer su oni skup rešenja, a ne uređena četvorka.

Zadatak za Zmaja za vežbu:
Napiši sve četiri Vijetove formule za navedeni polinom i proveri da ih X1, X2, X3 i X4 zadovoljavaju.

Zadatak za sve ostale:
Rešiti sistem jednačina:

$x + y + z + u = 1 x^2 + y^2 + z^2 + u^2 = -3 x^3 + y^3 + z^3 + u^3 = 7 x^4 + y^4 + z^4 + u^4 = 49$

Ako je ovaj težak, može prvo jedan lakši:
Rešiti sistem jednačina:

$x + y + z = -1 x^2 + y^2 + z^2 = -7 x^3 + y^3 + z^3 = -1$

Re: "Samo" tri zadačića 02.09.2011. u 09:16 · pre 184 meseca #13

Ideja koja mi je prvo pala napamet , mozda bi se ovako trebalo pocet,sto se tice onog lakseg.
$x^3+y^3+z^3-x-z-y=0\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2-1)+z(z-1)(z+1)=0$
$-(z+1)(x^2-xy+y^2-1)+z(z-1)(z+1)=0$
$(z+1)(7+z^2+1+xy+z^2-z)=0$
$z+1=0 \lor 2z^2-z+xy+8=0$ itd.itd.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: "Samo" tri zadačića 02.09.2011. u 13:03 · pre 184 meseca #14

Slučajno je -1 na desnoj strani u prvoj i trećoj jednačini. Pristup ne rešava bilo koji sistem.
Recimo:

$x + y + z = 3 x^2 + y^2 + z^2 = 9 x^3 + y^3 + z^3 = 15$

Uputstvo: Vijetove formule, Njutnove simetrične sume i veze jednih preko drugih.

Re: "Samo" tri zadačića 02.09.2011. u 15:16 · pre 184 meseca #15

Ovaj poslednji sistem sam rešio napamet - trojka (x,y,z) je bilo koja od permutacija trojke (2,2,-1).

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: "Samo" tri zadačića 03.09.2011. u 09:42 · pre 184 meseca #16

Kako ?

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: "Samo" tri zadačića 03.09.2011. u 10:01 · pre 184 meseca #17

Ma ovaj prvi preko Hornerove sheme....

1

Re: "Samo" tri zadačića 05.09.2011. u 08:47 · pre 184 meseca #18

Da se ispravim, pogodio sam rešenja štimanjem, ali osim toga znam razlog zašto osim tih rešenja nema drugih, tj. da rešenja takvih sistema moraju biti skupovi permutacija jedne trojke.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: "Samo" tri zadačića 05.09.2011. u 08:59 · pre 184 meseca #19

Inače se takvi sistemi rešavaju onako kako je miki069 rekao. Koristi Njutnove identitete.

Dakle,

$x+y+z=3$

$xy+xz+yz=\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}2=0$

$xyz=\frac{(xy+xz+yz)(x+y+z)-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)+x^3+y^3+z^3}3=-4$

Što znači da je

$(X-x)(X-y)(X-z)=X^3-3X^2+X+4$

$(X-x)(X-y)(X-z)=0\,\Leftrightarrow\,X^3-3X^2+X+4=0$

$X\in\{x,y,z\}\,\Leftrightarrow\,X\in\{1,2\}$

$\{x,y,z\}=\{-1,2\}$ .

E, sad možeš probom da utvrdiš zašto se dvojka mora pojavljivati dvaput, a -1 jedanput.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: "Samo" tri zadačića 05.09.2011. u 11:12 · pre 184 meseca #20

Upravo kako je Nedeljko napisao i dobro izračunao Vijetove koeficijente iz Njutnovih identiteta.
U zameni je kod X pogrešno prekucao koeficijent 1 umesto izračunate 0.
$(X-x)(X-y)(X-z)=X^3-3X^2+X+4 a treba (X-x)(X-y)(X-z)=X^3-3X^2+4$

Rešenja x, y i z su u redu.

Ovakav sistem vrlo često pada na ispitu iz "Linearne algebre i polinoma" na smeru matematika.
Većina profesora i asistenata obrađuje samo Vijetove formule, a Njutnove identitete ni ne spominje.
Onda ubace ovo na ispitu i studenti uđu u šumu direktnog rešavanja.
Vrlo je teško uraditi bez identiteta koje je Nedeljko naveo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme