Resavanje iracionalnih jednacina

Resavanje iracionalnih jednacina 14.06.2011. u 17:31 · pre 187 meseci #1

Eto, baš se danas bakćem sa iracionalnim jednačinama, i uvek sebi napravim mnogo posla, pa mi je palo na pamet da pitam ovde za lakši metod rešavanja ovih jednačina.

Primer je u mojoj drugoj poruci, pošto ovde nisam znao da koristim LaTex još uvek pa sam sve zeznuo. Samo skrolujte dole - hvala. :)

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 14.06.2011. u 20:09 · pre 187 meseci #2

Ovo ti je totalno nepregledno.Trebao bi na neki drugi nacin napisat jednacinu kako znas i umes da moze da se vidi o cemu se radi.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 15.06.2011. u 09:37 · pre 187 meseci #3

$\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{x}$

Evo ga LaTex. To je jednačina.

Drugi deo jednačine, posle nalaženja domena, meni izgleda ovako. Čak sam juče pogrešio i rekao da se skrate 1/x, a to je moja idiotska greška, i izvinjavam se na tome.

$x-\frac{1}{x}-2\sqrt{(x-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{x})}+1-\frac{1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x^2}$

I posle toga:

$-2\sqrt{\frac{x^3-x^2-x+1}{x^2}}=\frac{x^2-2x+1}{x^2}-\frac{x^2-x-2}{x}$

I onda sredim drugu stranu:

$-2\sqrt{\frac{x^3-x^2-x+1}{x^2}}=\frac{1-x^3}{x^2}$

I kad bih kvadrirao opet, tu bih imao izraz s kojim bih morao da se nosim. Postoji li bolji način od ovoga? I opet, ako ima grešaka, ispravite me, jer mi stvarno teško paziti na sve dok kucam na internetu. Nisam navikao.

Nadam se da se sad vidi kako treba. Pozdrav!

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 15.06.2011. u 11:39 · pre 187 meseci #4

Pre kvadriranja prebaci jedan od korena s druge strane jednakosti, pa opet pokusaj da resis

Npr.
$\sqrt{x-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{1}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$

i sad kvadriraj i javi jesi li se iskobeljao.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 15.06.2011. u 12:22 · pre 187 meseci #5

A mogao bi i celu jednacinu da pomnozis sa: $\sqrt{x -{1 \over x}}+\sqrt{1-{1 \over x}}$ .
Onda dobijes $x=\sqrt{x -{1 \over x}}+\sqrt{1-{1 \over x}}$ ,to je druga jednacina.
A prva ti je: $\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{1}$ .
I sad saberes te dve jednacine i dalje resavas.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 15.06.2011. u 12:56 · pre 187 meseci #6

Mislim da jednacina glasi:
$\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{x},$ a ne $\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{1}$

Bar mi je tako logicno iz ove jednacine: $x-\frac{1}{x}-2\sqrt{(x-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{x})}+1-\frac{1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x^2}$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 15.06.2011. u 14:50 · pre 187 meseci #7

Citat:

Sonec: Mislim da jednacina glasi:
$\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{x},$ a ne $\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{1}$

Bar mi je tako logicno iz ove jednacine: $x-\frac{1}{x}-2\sqrt{(x-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{x})}+1-\frac{1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x^2}$

Greška u kucanju - izvinjavam se. Prepravio sam je.

Pokušaću ovo što ste predložili, ljudi, pa ću vam se javiti!

Nije problem rešavanje zadatka, već sam se nadao da postoji neki lakši način, al' izgleda da ću svejedno morati da se borim sa izrazima.

Hvala svima na pomoći. :)

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 16.06.2011. u 00:41 · pre 187 meseci #8

X=1 je trivijalno rešenje.
Jednačina je definisana za x od [-1,0) U (1, +beskonačno)

Za X<>1, zbog $\sqrt{x-\frac{1}{x}}=\sqrt{\frac{x^2-1}{x}}=\sqrt{\frac{(x-1)*(x+1)}{x}}=\sqrt{\frac{x-1}{x}}*\sqrt{x+1}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}*\sqrt{x+1}$ ,
možeš da na levoj strani izvučeš kao zajednički činilac $\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ i
da ga skratiš sa desnom stranom.

Posle skraćivanja ostaje: $\sqrt{1+x}-1}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}$

1

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 16.06.2011. u 08:51 · pre 187 meseci #9

Izvinite što se nisam javljao, nisam uspeo da uradim zadatak još uvek, u gužvi sam.

Citat:

miki069: X=1 je trivijalno rešenje.
Jednačina je definisana za x od [-1,0) U (1, +beskonačno)

Za X<>1, zbog $\sqrt{x-\frac{1}{x}}=\sqrt{\frac{x^2-1}{x}}=\sqrt{\frac{(x-1)*(x+1)}{x}}=\sqrt{\frac{x-1}{x}}*\sqrt{x+1}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}*\sqrt{x+1}$ ,
možeš da na levoj strani izvučeš kao zajednički činilac $\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ i
da ga skratiš sa desnom stranom.

Posle skraćivanja ostaje: $\sqrt{1+x}-1}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}$

_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 16.06.2011. u 01:11 GMT+1]}

Pa da, to je to. To mi je trebalo. Znači, ovde algebarska znanja treba koristiti, kao što sam i pretpostavio.

Evo, imam još jedan, od kojeg sam dobio na kraju jednačinu višeg stepena koju sam morao da rastavljam na binome, i to se još kasnije nije poklopilo sve sa domenom, i baš nije bila fora posle deset minuta rada na zadatku. Evo:

$\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x-1}=\sqrt{x^2-1}$

Radio sam na isti fazon kao što sam i ovaj prvi pokušao da uradim, i dobio sam jednačinu četvrtog stepena. Uspeo sam da je rastavim na činione, međutim, rešenja nisu bila dobra. Rešenja su {-1, 5}.

Moguće je da je računska greška samo, u stvari, ne znam ni šta bi drugo bilo, ali bih voleo da vidim da li ovde postoji nešto što treba da uočim, kako bih lakše rešio zadatak. Pozdrav!

Hvala svima još jednom! :)

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 16.06.2011. u 09:25 · pre 187 meseci #10

$\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x-1}=\sqrt{x^2-1}$

Primenom formule za faktorizaciju kvadratnog trinoma: a*X^2+b*X+c = a*(X-X1)*(X-X2), lako se dobija:

$\sqrt{(x+1)*(4x+5)}-\sqrt{(x+1)*(2x-1)}=\sqrt{(x+1)*(x-1)}$

x=-1 je trivijano rešenje. Skratiš sa koren(x+1) i ostaje:

$\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-1}$

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 17.06.2011. u 02:52 · pre 187 meseci #11

Evo ako jos nisi rijesio prvi zadatak.
$\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{x}$
$x=\sqrt{x -{1 \over x}}+\sqrt{1-{1 \over x}}$
$2\sqrt{x-{1 \over x}}=x+{{x-1} \over x}$
$x-{1 \over x}={({x^2+x-1})^2 \over 4x^2$
$x^4+2x^3-x^2-2x+1=4x^3-4x$
$x^4-2x^3-x^2+2x+1=0$
$x^2(x^2-x)-x(x^2-x)-2(x^2-x)+1=0$
$(x^2-x-1)^2=0$
$x^2-x-1=0$ .Ovo sam posle srijedi, i dobices rijesenja jednacine:

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 17.06.2011. u 03:09 · pre 187 meseci #12

Dok se jednacina: $\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x-1}=\sqrt{x^2-1}$ ,
svodi na rijesavanje jednacine cetvrtog stepena: $-28x^4-64x^3-520x^2-1496x+920=0$ .

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 17.06.2011. u 10:55 · pre 187 meseci #13

Prvi zadatak ima očigledno rešenje X=1 koje ne zadovoljava krajnju kvadratnu jednačine.
Ne valja prvi korak.
Gde je nestala desna strana jednačine kad si proširivao na razliku kvadrata?

Drugi zadatak ima očigledno rešenje X=-1 koje ne zadovoljava krajnju jednačinu 4. stepena. Ne valja.

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 18.06.2011. u 15:25 · pre 187 meseci #14

Ok, konačno se javljam.

Prvi zadatak: dobio sam izraz koji me vodi do tačnog rešenja (proverio sam na Wolfram-u) ali ne znam kako da ga rešim.

$\sqrt{x+1}-1=\sqrt{1-\frac{1}{x}}$

Kad to kvadriram i sredim malo, dobijem:

$-2\sqrt{x+1}=\frac{-x^2-x-1}{x}$

Kad to kvadriram i sredim, dobijem jednačinu četvrtog stepena:

$x^4-2x^3-x^2+2x+1=0$

I njena rešenja jesu $\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ , od kojih meni odgovara jedno - zbog domena. Samo što ja ne znam kako da dođem do toga.

Video sam da je edisnp to uspeo da razdeli na činioce nekako, ali pojma nemam kako, pa bi mi i tu pomoć dobro došla.

Drugu jednačinu sam rešio kako me je miki069 uputio, i dobio sam drugo rešenje. I imam jedno pitanje. Postoji li drugi način da dobijem trivijalno rešenje x=-1, ili moram to nagađanjem?

Hvala još jednom! Pozdrav!

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 18.06.2011. u 20:23 · pre 187 meseci #15

http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 18.01.2016. u 12:15 · pre 131 mesec #16

Kako dovesti ovo u red?

Picture 118.JPG845.15k

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 18.01.2016. u 14:25 · pre 131 mesec #17

$\sqrt { 1 - \sqrt { {x^4} - {x^2} } } = x-1$ kvadriramo obe strane
${ 1 - \sqrt { {x^4} - {x^2} } } = {x^2} - 2x + 1$ skratimo 1 sa leve i desne strane
$- \sqrt { {x^4} - {x^2} } } = {x^2} - 2x$ kvadriramo obe strane
${x^4} - {x^2} = {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}$ sredimo jednačinu
$4{x^3} - 5{x^2} = 0$
$4{x^2}(x-{5 \over 4}) = 0$
$x = 0 \lor x={5 \over 4}$

x = 0 nije rešenje, jer zamenom u početnu jednačinu dobijamo $\sqrt{1} = -1$
Pa je rešenje samo $x={5 \over 4}$

www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%281-sqrt%28x^4-x^2%29%29%3Dx-1

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 18.01.2016. u 15:44 · pre 131 mesec #18

Djoko, hvala vam najlepse na pomoci. Jos samo jedno pitanje, da li uopste potrebno u ovim zadacima pisati pocetne uslove?

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 18.01.2016. u 16:31 · pre 131 mesec #19

Da, naravno. Nisam se tima bavio, ali sam koristio to što si ti uradila (zato sam i eliminisao rešenja x=0).
U principu, trebalo bi prvo napisati gde su funkcije definisane, pa onda tražiti rešenje tamo gde sme da bude.
Ono što ti je velika greška - došla si do rešenje (netačnog) i onda nisi uradila finalnu proveru - nisi probala da zameniš rešenje u početnu jednačinu.

Re: Resavanje iracionalnih jednacina 19.01.2016. u 23:51 · pre 131 mesec #20

Pa, nije baš neophodno.

Jedan od načina rešavanja ovakvih zadataka je da se pretpostavi da je sve definisano i da se onda rešava, pa kada se reši, da se onda dobijena rešenja ubace u početnu jednačinu i da se proveri da li je zadovoljavaju.

Najpre se dokaže da je

$R(x)\Rightarrow x=x_1\lor\cdots\lor x=x_n$ ,

a onda se proveri koje vrednosti od $x_1,\dts,x_n$ zaista zadovoljavaju $R(x)$ . Recimo da su to vrednosti $x_1,\dots,x_k$ . Onda smo zapravo dokazali

$R(x_1)\land\cdots\land R(x_k)land\lnot R(x_{k+1})\land\lnot R(x_n)$ .

Iz navedenog sledi

$R(x)\Leftrightarrow x=x_1\lor\cdots\lor x=x_k$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme