Zadatak sa elektrijade?

Zadatak sa elektrijade? 06.05.2011. u 20:14 · pre 189 meseci #1

Odrediti polinom $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\text{...}+a_nx^n$ tako da postoji

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{e^x-x-1}-P\left(\frac{1}{x}\right)}{x}$

Ja sam rešio tako što sam razvio $\frac{1}{e^x-x-1}$ u red u okolini tačke 0.

I tada je $P(x)=2x^2-\frac{2}{3 }x+\frac{1}{18}$

Samo što sam ja razvio ovo u red u Wolfram Mathematici.

Moje pitanje je kako da $\frac{1}{e^x-x-1}$ razvijem "ručno" u red.

Edit: Red je Loranov
Ovako izgleda prvih 11 članova

$\frac{2}{x^2}-\frac{2}{3 x}+\frac{1}{18}+\frac{x}{270}-\frac{x^2}{3240}-\frac{x^3}{13608}-\frac{x^4}{2041200}+\frac{x^5}{874800}+\frac{13 x^6}{146966400}-\frac{307 x^7}{24249456000}-\frac{479 x^8}{203695430400}+O[x]^9$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Zadatak sa elektrijade? 09.05.2011. u 12:31 · pre 188 meseci #2

Funkcija $\frac{1}{e^x-x-1}$ nije definisana za x=0 i ne može se razvijati u okolini tačke 0,
jer prvi član Tejlorovog (Mek-Loranovog) polinoma je F(0) što je u navedenom primeru nemoguće izračunati.

Jedino ako ti misliš na nekog drugog Lorana, a ne na Mek-Lorana.

Što bi razvijao celu funkciju $\frac{1}{e^x-x-1}$ ?
Razvij samo $e^x$ .

Re: Zadatak sa elektrijade? 09.05.2011. u 13:16 · pre 188 meseci #3

Dobro je rekao, Loranov razvoj. Evo ga ovde. Dobro je napisao pvih nekoliko članova.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zadatak sa elektrijade? 09.05.2011. u 13:42 · pre 188 meseci #4

Može se postupiti ovako:

$f(x)=\frac{x^2}{e^x-x-1}$ za $x\neq 0$ i $f(0)=2$ . Ta funkcija se može razvijati u Tejlorov red. Recimo,

$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^2}{e^x-x-1}-2}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}-2\frac{e^x-\frac{x^2}2-x-1}{x(e^x-x-1)}=-\frac 23$ ,

što se dobija dvostrukom primeno Lopitalovog pravila.

Takođe je $f'(x)=-x\frac{(x-2)e^x+x+2}{e^{2x}-2(x+1)e^x+x^2+2x+1}$ za $x\neq 0$ .

Primenjujući isti postupak na funkciju $f'$ možeš izračunati drugi izvod itd. Tako možeš računati izvode od $f$ jedan po jedan.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zadatak sa elektrijade? 09.05.2011. u 16:22 · pre 188 meseci #5

Hvala puno na pomoći. Nikad se ne bih se setio da izmislim $x^2$ u imenocu.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Zadatak sa elektrijade? 09.05.2011. u 20:58 · pre 188 meseci #6

Posmatrajmo imenilac

$e^x-x-1=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}-x-1=\sum^{\infty}_{n=2}\frac{x^n}{n!}=\frac{x^2}{2}(1+\frac{2x}{3!}+\frac{2x^2}{4!}+...)$

Odatle je

$\frac{1}{e^x-x-1}=\frac{1}{\frac{x^2}{2}(1+\frac{2x}{3!}+\frac{2x^2}{4!}+...)}=\frac{2}{x^2}\frac{1}{1+\frac{2x}{3!}+\frac{2x^2}{4!}+...}$

znamo da je

$\frac{1}{1+y}=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^ny^n$

pa odatle gornji izraz postaje

$\frac{1}{e^x-x-1}=\frac{2}{x^2}\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n(\frac{x}{3}+\frac{x^2}{12}+...)^n$

$y=\frac{x}{3}+\frac{x^2}{12}+...$

$y^2=\frac{x^2}{9}+...$

$\frac{1}{e^x-x-1}=\frac{2}{x^2}(1-\frac{x}{3}+\frac{x^2}{12}-\frac{x^2}{9}+...)=\frac{2}{x^2}-\frac{2}{3x}+\frac{1}{18}+...$

vidi se da je to taj razvoj sto je dala i masina.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Zadatak sa elektrijade? 09.05.2011. u 23:04 · pre 188 meseci #7

Sjajno rešenje!

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zadatak sa elektrijade? 10.05.2011. u 00:00 · pre 188 meseci #8

Bravo Petre. Stvarno sjajno. Hvala puno i Nedeljku i tebi!

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme