Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije

[es] :: Matematika :: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije

[ Pregleda: 6730 | Odgovora: 14 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

anon315

Član broj: 315
Poruke: 1657
*.verat.net



+13 Profil

icon CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije03.02.2004. u 20:16 - pre 245 meseci
Haug !

Mislim da sama funkcija i nije bitna za odgovor koji meni treba. Data je slika konture po kojoj vršim integraciju.



Problem nastaje samo u tome što sam klasično računao sumu residuma pomnoženu sa , a u rešenju stoji samo nula i to bez računanja, a sa obrazloženjem "zbog osobine aditivnosti integrala", što mi uopšte nije jasno, jer u svakom slučaju se kontura vraća na početak, pa se ipak residumi računaju, a ovde samo tako. Napominjem da sam tačno proračunao residume (limese), jer se isti javljaju kao rešenje pri korišćenju JORDANovih lema ...

U čemu je kvaka ? Lepo se sa slike vidi da samo zasek i tačke grananja ne pripadaju konturi, dok ova dva singulariteta upadaju ...

pozdrav
Prikačeni fajlovi
 
Odgovor na temu

darkosos
Darko Šoš
Beograd

Član broj: 5053
Poruke: 1131
*.ptt.yu



+64 Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije04.02.2004. u 16:38 - pre 245 meseci
Pogledaj sledeći primer :

da li kontura zatvara singularitet ili ne?
Kvaka je u tome da spoljni krug anulira unutrašnji jer imaju iste reziduume suprotnog znaka.
Prikačeni fajlovi
 
Odgovor na temu

Mihailo Kolundzija
Novi Sad

Član broj: 11323
Poruke: 100
*.ftn.ns.ac.yu



+1 Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije04.02.2004. u 17:53 - pre 245 meseci
Možeš li da napišeš koji su to singulariteti u pitanju, pošto mi ne uspeva da ih otkrijem na onoj slici. (ko kaže da jedna slika vredi više od 'iljadu reči?)
Ako su u pitanju neke od tačaka koje su okružene onim malim "krugovima", onda su van konture.
 
Odgovor na temu

anon315

Član broj: 315
Poruke: 1657
*.verat.net



+13 Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije04.02.2004. u 23:07 - pre 245 meseci
Pre nego što se bacim na ovaj zadatak, hteo bih da ukratko prokomentarišem jedan prethodni, malo lakši.



Dakle, posmatram funkciju:




Tačke 0, 1 i su tačke grananja funkcije, znači imaću zasek između 0 i 1.

Taška -2 je pol 1. reda, a tačka -1/2 pol 2. reda.

Kontura integracije je takva da je izbegnut zasek (0 i 1), a konturom su obuhvaćeni polovi koji se nalaze na negativnom delu realne ose !!!

Imaću integraciju po velikoj konturi, po dve male, po dva zaseka i račun dva residuuma (u -2 i -1/2) i to je priča.

Sad dolazim do zadatka:



Dakle, posmatram funkciju:



Tačke 0, 2 i su tačke grananja, a tacke -1 i 3 polovi 1. reda.

U rešenju je ponuđena kontura koju sam gore naveo. Sad malo da to prodiskutujemo ! Daću svoje viđenje, a onda me ispravite gde grešim i ako.


Prvo, ovde su obuhvaćena i oba pola što u prethodnom zadatku nije bio slučaj. Zašto je to tako ? U prethodnom zadatku su polovi bili na negativnom delu realne ose pa prilikom obilaska konture ona nije naletela na njih. Ovde, posle obilaska oko i kretanja od R do 2 nalećemo na pol, dakle singularitet koji nije otklonjiv i zato moramo da ga obuhvatimo. Ali onda mi nije jasno obuhvatanje pola -1 ? Ako probam njega da ne uhvatim onda imam račun jednog reziduuma i jedan integral manje, ali tada se dobija pogrešno rešenje. Jedino rešenje koje je tašno se dobija upravo prilikom integracije po konturi sa slike. Zašto ?

Drugo pitanje bi bilo vezano za to što si ti rekao darkosos. Ne mogu baš da skontam to što mi kažes, jer su obe konture (CR i Cr2) pozitivno orijentisane. Za sada još uvek shvatam to zdravo za gotovo ("kada obiđe malom konturom oko njega, singularitet je isključen"), mada bih voleo da mi se pojasni ...

Pretpostavimo nadalje da se rešava prema datoj konturi. Tada se sve to protera fino, jedino se mora paziti na granu funkcije što i nije neki problem. Međutim, integral po CR je računat razvijanjem u Loranov red, što je po meni potpuno nepotrebno u ovom slučaju. Ja sam odradio klasičnom primenom 2. Žordanove leme i dobio isti rezultat. Zanima me da li je to korektno ? Jedina nedoumica mi je bilo što ka puštam da z ide u beskonačnost imam da je to > 2 pa bi zbog ostajanja na istoj grani morao da mi se pojavi jedan minus, ali sam to istretirao tako što je u kompleksnoj ravni pojam beskonačnosti neklasičan, pa mi se taj minus nije pojavio i dobio sam tačno rešenje :-) ... Da li je to dobro ?

Inače, rešenje datog integrala je:



Nadam se da sam ovaj put bio jasniji.

Pozdrav
 
Odgovor na temu

anon315

Član broj: 315
Poruke: 1657
*.ppp-bg.sezampro.yu



+13 Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije08.02.2004. u 18:56 - pre 245 meseci
huja ?!
 
Odgovor na temu

stalker
Branko Kokanovic
Beograd

Član broj: 11897
Poruke: 606
*.drenik.net



+2 Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije08.02.2004. u 23:23 - pre 245 meseci
Nisam bas skapirao sve sto si napisao, ali da te pitam - da li je u zadatku (postavci) ponudjena ona kontura? Jer ako nije, ja bih radio bez "savatanja" onog singulariteta sa minus Re ose.

P.S. Iznecu i ja neko moje cudno misljenje o celoj ovoj temi, samo za jedno 2 dana. Vanja jedini zna zasto:)
 
Odgovor na temu

anon315

Član broj: 315
Poruke: 1657
*.ppp-bg.sezampro.yu



+13 Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije09.02.2004. u 07:45 - pre 245 meseci
Citat:

Vanja jedini zna zasto:)


;-)

Citat:

Nisam bas skapirao sve sto si napisao, ali da te pitam - da li je u zadatku (postavci) ponudjena ona kontura? Jer ako nije, ja bih radio bez "savatanja" onog singulariteta sa minus Re ose.


Pa oko toga se i mučim ! Baš je ponuđena ta kontura, a kažem, nijedna druga kombinacija ne pali !
 
Odgovor na temu

darkosos
Darko Šoš
Beograd

Član broj: 5053
Poruke: 1131
*.ptt.yu



+64 Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije09.02.2004. u 08:23 - pre 245 meseci
Čemu služi onaj veliki krug koji sve zatvara? Ako on upada u konturu, onda on anulira ove unutra jer je suprotno orijentisan. To je bila ona mala slidža koju sam priložio, samo nisam nacrtao koji su pravci po krugovima.
 
Odgovor na temu

Mihailo Kolundzija
Novi Sad

Član broj: 11323
Poruke: 100
*.dialup.ns.ac.yu



+1 Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije10.02.2004. u 04:12 - pre 245 meseci
Pošto mi je mozak već duže vreme kao rešeto, ne zameri ako se ne sećam
najbolje stvari vezanih za kompleksnu (posebno kad se uzme u obzir kako sam
polagao predmet vezan za istu). Pokušaću da pomognem, ali ne verujem da ću
umeti.

U vezi rešenja koje si naveo na kraju - da li je u pitanju prvi ili drugi
integral?
Napravio sam mali pokušaj sa onim drugim integralom, i dobijem rešenje
nula, koje mi nekako izgleda sumnjivo.

Evo kako se meni čini da bi se to moglo raditi.
i) Imaš ogromnu spoljnu konturu za koju bi trebalo da se može dokazati da
je integral po njoj jednak nuli. Koliko se sećam, kod iole "normalnih"
funkcija, ta kontura je bila krug pa se pomoću modula pokaže da je vrednost
integrala manja od nečega što teži nuli. U ovom slučaju se možda može
iskoristiti da je nula podintegralne funkcije (ovde
veliki znak pitanja), pa bi to moglo da znači da je u beskonačnosti (ma šta
ona bila) integral po velikoj konturi (mislim na spoljni deo složene
konture) jednak nuli "iz opravdanih razloga". (ovde oprez, pošto postoji
realna opasnost da grešim silno).

ii) Kako ti ostaju integrali po malim konturama i šetnje po realnoj osi
tamo-amo (što bi trebalo da se potire), njih (mislim na integrale po malim
konturama) nađeš uz pomoć reziduuma (oni po krugovima oko tačaka grananja
bi trebalo da su nula), a nepoznati integral izraziš preko vrednosti
integrala po celoj konturi (znaš da je nula, pošto ona u ovom slučaju ne
obuhvata singularitete) i vrednosti integrala na ostalim delovima složene
konture.
(pretpostavljam da je tvoj komentar na ovo poslednje: "Kaži mi nešto što ne
znam.")


E, po ovom receptu ja dobijem da je integral u drugom zadatku jednak nuli
(reziduumi u -1 i 3 su suprotnih znakova, pa se skrate).

Za prvi zadatak je neophodno malo više računanja, pošto je valjda potrebno
naći izvod prilikom računanja jednog od reziduuma, pa je moguće da sam
napravio grešku, pošto ni tu nisam dobio ono što si ponudio na kraju.

Kao što se vidi iz načina na koji sam pokušao da radim ove zadatke, smatram
da nema razlike da li ti obuhvatiš one polove ili ne. Ti ćeš ih svakako
zaračunati, bilo tako što ćeš imati složenu konturu u kojoj nemaš
singulariteta a pomoću njih naći vrednost integrala na onim kružićima (koji
su deo one složene konture), ili tako što ih nećeš obaviti malim krugovima,
ali ćeš ih zaračunati u vrednost integrala po složenoj konturi, pošto u tom
slučaju unutar nje imaš singularitete.
 
Odgovor na temu

anon315

Član broj: 315
Poruke: 1657
*.ppp-bg.sezampro.yu



+13 Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije11.02.2004. u 08:41 - pre 245 meseci
Verovali vi meni ili ne (stalker mi sada sigurno veruje ), na ispitu je pala blaga modifikacija ovog zadatka ! Evo ga:



Na sreću, kod ove multiformne funkcije ne postoji onaj singularitet koji će mi smetati (3),
već ću normalno obuhvatiti samo zasek, a normalno računati reziduum u -3. Doduše bilo je malo teže pokazati koliki je integral po CR, ali bože moj

Ako nekog zanima postupak za rešavanje ovog zadatka neka kaže.

Pozdrav
 
Odgovor na temu

Mihailo Kolundzija
Novi Sad

Član broj: 11323
Poruke: 100
*.dialup.ns.ac.yu



+1 Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije11.02.2004. u 13:21 - pre 245 meseci
Evo, mene zanima, pošto nisam mnogo razmišljao o tim konturama tipa
"Carnex" (znate već ono, gomila padobranaca iskače iz aviona i u slobodnom
padu nema pametnija posla nego da maže paštetu na 'leb).
 
Odgovor na temu

stalker
Branko Kokanovic
Beograd

Član broj: 11897
Poruke: 606
*.drenik.net



+2 Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije11.02.2004. u 19:17 - pre 245 meseci
I mene, i mene!!!
 
Odgovor na temu

anon315

Član broj: 315
Poruke: 1657
*.verat.net



+13 Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije11.02.2004. u 22:02 - pre 245 meseci
Ok.





z=0, z=2 su tačke grananja funkcije.

z=-3 je pol prvog reda.

Dakle, kontura integracije je:











Pa ovde ne može da se primeni II JORDANova lema !!! Dakle integral po velikoj konturi nam je trenutno nepoznat. Ostaviću njegovo rešavanje za kraj.



PAŽNJA, PAŽNJA, PAŽNJA: Ovim izborom vrednosti smo se odlučili da budemo na jednoj grani funkcije, pa u celom rešavanju zadatka moramo da ostanemo na njoj. Ovo će nam trebati upravo u sledećem koraku.

Sad da nađemo famozni integral po velikoj konturi:







NAPOMENA:

Gornji rezidum se dobija tako što znamo da je nula pol 2. reda funkcije g(z) ! Pa u skladu sa tim postoji i odgovarajuća formula za limes ...



NAPOMENA !!!

Gornji limes nije mogao tačno da se sračuna prostim ubacivanjem nule jer bi onda promenili granu funkcije, nego je na primer:

i tek sad se ubaci nula !!!

Treba još paziti na ona dva određena integrala, jedan je po zaseku z1 gde se samo smeni z sa x jer je argument funkcije nula, ali umesto z, po drugom zaseku z2, jer je argument

Posle par koraka se dobija rešenje:

Prikačeni fajlovi
 
Odgovor na temu

anon315

Član broj: 315
Poruke: 1657
*.kru.sezampro.yu



+13 Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije13.02.2004. u 19:44 - pre 244 meseci
http://matematika3.etf.bg.ac.yu/PDFs/m3resjan04.pdf

Ovde možete videti i drugi način traženja integrala po CR, razvijanjem u Loranov red.
 
Odgovor na temu

soma
M. Tesic
Kotor Varos, RS-BiH

Član broj: 11885
Poruke: 420
*.teol.net

Sajt: www.pdp-kv.org


Profil

icon Re: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije22.03.2004. u 16:58 - pre 243 meseci
U vezi prve konture:
1. Kontura je orjentisana tako da krecuci se po njoj oblast ostaje sa lijeve strane (u ovom slucaju bi velika kontura trebala biti orjentisana suprotno kretanju kazaljke na satu a male konture koje se nalaze oko polova bi trebale biti orjentisane u smjeru kretanja kazaljke na satu- pozitivna orjentacija -ili suprotno kao na slici- negativna orjentacija, ali to u konkretnom slucaju i nije toliko bitno), Uvodjenjem -reza- tj, crte ili crta koja spaja (ili koje spajaju) male i veliku konturu (ako taj rez postoji posto nevidim najbolje sa slike ali cini mi se da postoji) dobija se jednostruko povezana oblast (dok se integral po tom rezu anulira jer se integracija po rezu vrsi u oba pravca) u kojoj je funkcija analiticka ili ti regularna (nema singularnih tacaka) i prema Kosijevoj integralnoj teoremi (koju je dokazao Gursa 1900g.- u smislu da je dovoljno da je funkcija analiticka u jednostruko povezanoj oblasti i za svaku konturu iz te oblasti integral je jednak nuli ) integral po toj konturi je jednak nuli.
Ako je to taj slucaj reziduumi nisu otkonjivi nego jednostavno nisu u datoj oblasti integracije, mozda su esencijalni ali to nije bitno.
3. Ukoliko nije takav slucaj jedini nacin da se to otkrije je racunica.
Pozdrav

 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: CAUSHYjeva teorema o residumima, kompleksna integracija multiformne funkcije

[ Pregleda: 6730 | Odgovora: 14 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.