Čudan slučaj sa imaginarnom jedinicom...

Da li se dogovaramo oko toga šta je imaginarna jedinica ili pokušavamo da odredimo koliko korena ima kompleksan broj? Može se pisati i = √(-1) dok je -i = -√(-1). Sa druge strane ako je reč o broju korena kompleksnog broja onda ih uvek ima n za n-ti koren, pa tako i za √(-1). Ali te dve vrednosti su različite

z1 = cos(pi/2) + i*sin(pi/2) = i
z2 = cos(3pi/2) + i*sin(3pi/2) = -i

Iz ovoga ne sledi da su i i -i isto. Niti ima zabune oko definicije. U kompleksnoj ravni će i dalje važiti

i = (0, 1)
-i = (0, -1)

a ovo treba čitati i je zamena za ... a ne shvatati kao jednakost! Samo što je lakše staviti = nego pisati sva ta čuda. To je uopšte problem nastave matematike, gde se direktno prelazi na korišćenje simbola a da nema prethodno jasnog dogovora šta ti simboli znače. Jednom pogrešno stečene navike se posle teško ispravljaju. Pri tome uopšte nisam siguran da li se po tom pitanju može učiniti bilo šta. Nova saznanja nas zatrpavaju kao mećava i predugo zadržavanje oko detalja (koji su važni) ne bi rezultiralo u bilo čemu. Ostaje ono pomalo grubo ali možda jedino realno "ko razume shvatiće".

Medjutim, da li smo mogli uzeti i = -√(-1)? Da mogli smo. I čini mi se da se ništa bitno ne bi promenilo.


Ovo važi samo za realne nenegativne brojeve. Kad su u pitanju kompleksni brojevi, koren je višeznačna funkcija.


U polju kompleksnih brojeva nije moguće jednostavno uredjenje (moralo bi da važi a<>b povlači a<b ili a>b).
Ako se pretpostavi da takvo uredjenje postoji. Tada i<0 ili i>0 i moralo bi da važi i*i > 0, što je kontradikcija jer je i*i = -1 < 0.

√z1 √z2 = w1 w2
w1 = √r1( cos((φ1+2kπ)/2) + isin((φ1+2kπ)/2) ), k=0,1
w2 = √r2( cos((φ2+2mπ)/2) + isin((φ2+2mπ)/2) ), m=0,1

pa u opštem slučaju √z1 √z2 ima 4 rešenja, dok

√(z1 z2) = w
w = √(r1 r2)( cos((φ1+φ2+2tπ)/2) + isin((φ1+φ2+2tπ)/2) ), t=0,1

u opštem slučaju √(z1 z2) ima 2 rešenja, pa je √z1 √z2 <> √(z1 z2).

√z1 √z2 = √(z1 z2) samo ako je φ1 = φ2 = 0, tj. na R⁺.

Evo još nekih "Čudnih" slučajeva sa imaginarnom jedinicom:

(1) Proizvod dva kompleksna broja može biti realan broj
(3 - 5i)(3 + 5i) = 34

(2) Cos( 407*i/250 ) = 2.645 > 1

(3) Integral kompleksne funkcije može biti realan broj


Pitanje: da li može biti manje od nule?

Šta bi Euler bez radijana?

e^it = cist