izmenjeno 1 put, poslednji put yoMas 02.01.2011. u 20:10
Izmene poruke
- yoMas02.01.2011. u 20:10zapis iz teksta poruke
Odrediti najmanji prirodan broj cija je polovina potpun kvadrat, trecina potpun kub i petina potpun peti stepen.
najmanji prirodan broj cija je polovina potpun kvadrat,trecina potpun kub,petina potpun peti stepen
Zaključano
Zakačeno
Dakle, taj broj se može prikazati u obliku 
, gde 
nije deljivo ni sa 2 ni sa 3 ni sa 5.
Pošto broj mora biti deljiv sa 2, 3 i 5, imamo da je
.
Iz prvog uslova sledi da
, 
, 
i da je potpun kvadrat.
Iz drugog uslova sledi da
, 
, 
i da je potpun kub.
Iz trećeg uslova sledi da
, 
, 
i da je potpun peti stepen.
Pošto tražimo najmanji takav broj, uzimamo da je
.
Na način objašnjen u ovoj temi, dobija se da se najmanje rešenje dobija za
, 
i 
.
Dakle, rešenje je
.
, gde nije deljivo ni sa 2 ni sa 3 ni sa 5.Pošto broj mora biti deljiv sa 2, 3 i 5, imamo da je
.Iz prvog uslova sledi da
, , i da je potpun kvadrat.Iz drugog uslova sledi da
, , i da je potpun kub.Iz trećeg uslova sledi da
, , i da je potpun peti stepen.Pošto tražimo najmanji takav broj, uzimamo da je
.Na način objašnjen u ovoj temi, dobija se da se najmanje rešenje dobija za
, i .Dakle, rešenje je
.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Slicno sam uradila kao i vi :
Neka nam x bude najmanji broj.
Pretpostavit cemo da su 2, 3 i 5 su svi glavni. Tada je najmanji mogući broj x i on samo moze imati 2, 3 i 5 kao njezin jedine proste faktore.
Neka je x= 2^a 3^b 5^c
Stanje 1. x je polovica potpunog kvadrata 2x= 2^a+1 3^b 5^c .. To zahtijeva 2|a+1,b,c
Stanje 2. x je jedna trećina od potpunog kuba 3x= 2^a3^b+1 5^c . To zahtijeva 3|a,b+1,c
Stanje 3. x je jedna petina petine stepena 5x= 2^a 3^b 5^c+1 . To zahtijeva 5|a,b,c+1..
Mi ćemo ispitati svaku varijablu (a,b i c) jedan po jedan.
Za a, imamo 2|a+1 što znači je neparan. Onda 3,5|a znači da 15|a. Iz toga slijedi da je. Min(a)=15
Za b, imamo 2,5|b a to podrazumijeva da 10|b.
3|b+1 znači b=2(mod 3) .
minimum b koji zadovoljava taj uvjet je 20.
Za c, imamo 2,3|c a to podrazumijeva da 6|c.
5|c+1.
Znači c=4(mod 5)..
minimum c koji zadovoljava taj uvjet je 24.
Stoga željeni broj je 2^a3^b5^c . sto je i trebalo dokazati.
Neka nam x bude najmanji broj.
Pretpostavit cemo da su 2, 3 i 5 su svi glavni. Tada je najmanji mogući broj x i on samo moze imati 2, 3 i 5 kao njezin jedine proste faktore.
Neka je x= 2^a 3^b 5^c
Stanje 1. x je polovica potpunog kvadrata 2x= 2^a+1 3^b 5^c .. To zahtijeva 2|a+1,b,c
Stanje 2. x je jedna trećina od potpunog kuba 3x= 2^a3^b+1 5^c . To zahtijeva 3|a,b+1,c
Stanje 3. x je jedna petina petine stepena 5x= 2^a 3^b 5^c+1 . To zahtijeva 5|a,b,c+1..
Mi ćemo ispitati svaku varijablu (a,b i c) jedan po jedan.
Za a, imamo 2|a+1 što znači je neparan. Onda 3,5|a znači da 15|a. Iz toga slijedi da je. Min(a)=15
Za b, imamo 2,5|b a to podrazumijeva da 10|b.
3|b+1 znači b=2(mod 3) .
minimum b koji zadovoljava taj uvjet je 20.
Za c, imamo 2,3|c a to podrazumijeva da 6|c.
5|c+1.
Znači c=4(mod 5)..
minimum c koji zadovoljava taj uvjet je 24.
Stoga željeni broj je 2^a3^b5^c . sto je i trebalo dokazati.