Stereometrija - zadatak

Evo zadatka iz časopisa "Tangenta", broj 61, pismeni zadaci, 3.razred, poliedri; obrtna tela, 32.strana, zadatak 5.

Rešio sam da malo obnovim gradivo iz stereometrije i interesuje me rešenje ovog zadatka:

"Ugao između visine i izvodnice date kupe je . Kroz vrh kupe konstruisana je ravan pod uglom prema ravni osnove. Naći površinu preseka te ravni i kupe, ako je visina kupe H".

Moj postupak:
Najpre nacrtamo pravougli trogao koji obrazuju poluprečnik, visina i izvodnica kupe. Elementi tog trougla su jednoznačno određenih dužina, s obzirom da je H poznato, kao i ugao između H i izvodnice s.



Ravan koja prolazi kroz vrh kupe mora mu seći bazu, ako uopšte seče kupu. Iz uslova sledi da presek postoji.
Presek je jednakokraki trougao, čije su kraci izvodnice, a osnovica tetiva kruga koji odgovara bazi. Ugao između normale iz centra na datu tetivu i visine presečnog trougla je , a pomenute stranice uz visinu kupe obrazuju pravogli trougao. Ako je dužina duži koja leži na pravcu pomenute normale a i pripada prethodno opisanom trouglu, onda je:


Ako je x duzina osnovice trougla u preseku, onda vazi:


Otuda je:


Visina trougla u preseku koja odgovara osnovici je:


Površina je:




Da li je ovo tačno rešenje? Zbunjuje me što nije precizirano da li je kupa prava ili ne.

Pokušao sam da uradim zadatak i za slučaj da kupa nije prava.

Neka je l projekcija visine presečnog trougla na pravac prečnika baze koji je normalan na tetivu koja pripada tom trouglu (osnovicu).

Tada je

Rastojanje između presečne tačke kružnice prave koja leži na pomenutom prečniku i normale iz vrha na taj pravac je:


Rastojanje centra baze od tacke preseka visine i visine presecnog trougla koja sece pomenutu tetivu je:


Povrsina presecnog trougla je:


Pri tom je h:


Stranicu x nalazimo iz:


Treba još r izraziti preko H i poznatih uglova.

Iz kosinusne teoreme:


Odatle se nalazi r, zatim x i tražena površina.

Koje od ova dva rešenja je tačno?

Treba .

Takođe, umesto



piši

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Hvala.

Ova konačna formula mi je štamparskom greškom ispala takvom...

Rešenje iz časopisa je:


Pošto ova formula baš i ne liči na ono rešenje, pretpostavio sam da sam pogrešio. Tek sam sad ispitao i dokazao ekvivalentnost rešenja.

A da li mi je ono drugo rešenje tačno za slučaj da kupa nije prava?

Ovaj deo ne razumem.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Dužina projekcije izvodnice na pravac prečnika koji je normalan na tetivu kruga (osnove kupe) koja je stranica trougla u preseku.

Odnosno ta duž, izvodnica i visina obrazuju pravougli trougao. Ta duž se u njemu nalazi naspram ugla .

Šta predstavlja ugao u slučaju kose kupe?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

U slučaju kose kupe zadatak ne bi bio postavljen kako treba. Radi se o pravoj kupi.

U mom rešenju to je ugao između jedne izvodnice kupe i i normale na ravan osnove iz vrha kupe.



Shvatam, samo sam pitao da budem siguran.

Hvala svima.

Jel moze neko da mi napravi razliku izmedju paralelepipeda i parelelopipeda (ako postoji, a verujem da postoji)? Hvala! :D

Nema razlike.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Ali u zbirci koju ja koristim ( Vene 3), u odeljku za obrasce stoji ovako: Povrsina paralelepipeda je P=2(ab+ac+bc), V=abc .... Sto znaci da misle na kvadar. A posle u zadacima pominju paralelopiped ( osnova i bocne strane su paralelogrami ), ili prav paralelopiped ( osnove su dva paralelograma, a bocne strane 4 pravougaonika ). Jedino ako su ispustili da kazu da je taj paralelepiped pravougli, tj bio bi kvadar.

http://sr.wikipedia.org/wiki/%...%D0%BF%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Pusti Venea. Uzmi neku drugu zbirku. Preporučujem ti krugove zbirke za srednju školu.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Prema nastavnom planu, kod nas, u upotrebi je VENE. I moramo da se bakcemo sa beskonacno mnogo gresaka, i ne samo u resenjima, vec i u tekstovima zadataka. Svake godine stampaju nova izdanja, ali, naravno, greske ne ispravljaju. A ovo me je bas zacudilo, jer se na vise mesta termin paralelepiped upotrebljava u znacenju kvadra.

Batali plan. Ako si profesor, radi po krugovim zbirkama, a ako si đak, opet po krugovim i super ćeš proći na pismenom. Nije stvar u tome da naštrebaš ne znam koliko Veneovih pogrešnih zadataka, već da naučiš gradivo i onda nećeš imati problema na pismenom.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Koja je razlika između Krugovih i Veneovih zbirki? Može li neko da ih uporedi? Zašto su Krugove bolje od Veneovih, može li neko da obrazloži? Hvala.

Moja profesorica je ove godine zahtevala od nas da svi kupimo Krugovu zbirku za drugi razred.Prosle godine jesmo koristili Venea i Matematiskop(ponekad).Meni se licno mnogo vise svidja Krugova zbirka nego Veneova,zato sto na prvi pogled nema gresaka i u krogovim zbirkama svaka obast je podijeljena na lakse(osrednje zadatke) teze i najteze,jednostavno bolje je u krugovim zbirkama vrsen odabir zadatak od laksih ka tezim ,sto je donekle i logicno jer je jedan od autora i direktor matematicke gimnazije,dok se u ostalim zbirkama u tome nije vodilo racuna, recimo u matematiskopu za drugi razred toga nema,sve je izmijesano,mozes da radis neki zadatak recimo,a da nemas pojma da je recimo bio na nekom drzavnom takmicenju il; okruznom..

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

U Veneovoj zbirki zadaci su poređani od lakših ka težim, samo što to nije obojeno kao u Krugovoj. Mislim da je Veneova zbirka sasvim solidna. Nađe se i nekoliko težih takmičarskih zadataka. Na kraju zbirke postoje posebno odvojeni RAZNI ZADACI sa raznih takmičenja. A, što se grešaka tiče, pa nađe se tu po neka... Nije strašno!

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla