Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform

Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 18.10.2008. u 02:16 · pre 219 meseci #1

$I(\vec{n}-\vec{m})=\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}I(\vec{k})e^{i\vec{k}(\vec{n}-\vec{m})}$

$I$ je interakcija izmene, $N$ - broj cvorova u kristalnoj resetki
Zasto se koristi ovakva def Furije transforma?

$I(\vec{n}-\vec{m})=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\vec{k}}I(\vec{k})e^{i\vec{k}(\vec{n}-\vec{m})}$

Isto se moze koristiti i ovakva def. U drugom slucaju su nam faktori kod Furije transforma i inverznog Furije transforma simetricni. Kad je pogodnije koristiti prvi oblik, a kada drugi u resavanju problema?

I u kojim slucajevima ja mogu reci da je $I(\vec{n}-\vec{m})=I(|\vec{n}-\vec{m}|)$ . To je po meni ispunjeno akko su u cvorovima atomi jednog te istog elementa i sredina je izotropna. Jesam li u pravu?
Naime u nekim zadacima koje imam radi se sa $I(\vec{n}-\vec{m})$ , a potpuno isti rezultat bih dobio i da radim sa $I(|\vec{n}-\vec{m}|)$ jer se rade direktni i inverzni Furije transformi, a potpuno je sve irelevantno osim broja cvorova u formulaciji problema! Npr.
ZAD
Ako kristal ima centar inverzije pokazati da je $I(\vec{k})=I(-\vec{k})$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 18.10.2008. u 10:40 · pre 219 meseci #2

Citat:

petarm:To je po meni ispunjeno akko su u cvorovima atomi jednog te istog elementa i sredina je izotropna. Jesam li u pravu?

Da.

Citat:

petarm:Ako kristal ima centar inverzije pokazati da je $I(\vec{k})=I(-\vec{k})$

Samo iskoristi $I(\vec{r})=I(-\vec{r})$ .

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 18.10.2008. u 10:52 · pre 219 meseci #3

Da to je OK. Nego fora je u sledecem. Ja napisem

$I(\vec{k})=\sum_{\vec{n}-\vec{m}}I(\vec{n}-\vec{m})e^{-i\vec{k}(\vec{n}-\vec{m})}$

$\vec{n}-\vec{m}=\vec{r}$

$I(\vec{k})=\sum_{\vec{r}}I(\vec{r})e^{-i\vec{k}\vec{r}}$

$\vec{r}\rightarrow -\vec{r}$

i dobijam ono sto treba da dobijem. Ali moje pitanje je da li ja ovde precutno radim sa $I(\vec{n}-\vec{m})=I(|\vec{n}-\vec{m}|)$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 18.10.2008. u 15:15 · pre 219 meseci #4

Pa valjda sam znaš da li si iskoristio to svojstvo ili ne. Jesi li se negde pozvao na njega?

Mislim, razmisli malo. Ako je $I(\vec{r})=I(r)$ onda je sigurno ispunjeno $I(\vec{r})=I(-\vec{r})$ , ali može se desiti da I zavisi od r kao od vektora ali da je invarijantno na inverziju. Npr. kubna rešetka je invarijantna na inverziju oko bilo kog čvora, ali ona nije izotropna.

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 18.10.2008. u 15:35 · pre 219 meseci #5

Sad kad predjem sa $\vec{r}$ na $-\vec{r}$ dobijam

$I(\vec{k})=\sum_{-\vec{r}}I(-\vec{r})e^{-i(-\vec{k})\vec{r}}=\sum_{\vec{r}}I(\vec{r})e^{-i(-\vec{k})\vec{r}}=I(-\vec{k})$

Sad kad pogledam ovo $\sum_{-\vec{r}}=\sum_{\vec{r}}$ to mi zapravo govori da ja sumiram po svim cvorovima izmedju kojih je rastojanje $\vec{r}$ ili $\vec{-r}$ . Jel tacno? Zar mi to zapravo ne namece onda $I(\vec{n}-\vec{m})=I(|\vec{n}-\vec{m}|)$ ?

Citat:

tomkeus: Npr. kubna rešetka je invarijantna na inverziju oko bilo kog čvora, ali ona nije izotropna.

Kolko sam ja shvatio o izotropnosti mi govori ova interakcija (integral) izmene jer je to u opstem slucaju tenzor $I^{\alpha\beta}_{\vec{n}\vec{m}}$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 25.10.2008. u 17:43 · pre 219 meseci #6

Ne, ne nameće ti. Jednakost $I(\vec{r})=I(-\vec{r})$ ti nameće samo da za svako $\vec{r}$ veličina I ne zavisi od toga kada se vektor invertuje. Kada nešto zavisi samo od intenziteta tog vektora onda imaš potpunu nezavisnost od uglova dok to za ogledalsku simetriju uopšte ne mora da znači.

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 29.11.2010. u 22:01 · pre 193 meseca #7

Posto je ovde vec otvorena tema, a imam pitanje iz ove oblasti resih da ga postavim ovde

$-\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{a}^+ _{\vec{n}}\hat{a}_{\vec{n}}\langle \hat{a}^+_{\vec{n}}\hat{b}^+_{\vec{m}}\rangle$

Hocu ovaj izraz da zapisem u K-prostoru, odnosno da izvrsim odgovarajuce diskretne Furije transformacije, ali ne dobijam ono sto bi trebalo. Trebalo bi da dobijem

$-\sum_{\vec{k}}\hat{a}^+_{\vec{k}}\hat{a}_{\vec{k}} \frac{1}{N}\sum_{\vec{q}}J(\vec{q})\langle \hat{a}^+_{\vec{q}}\hat{b}^+_{-\vec{q}}\rangle$

$\hat{a}, \hat{a}^+,\hat{b},\hat{b}^+$ - bozonski operatori

Odgovarajuce Furije transformacije su

$I_{\vec{n},\vec{m}}=\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}J(\vec{k})e^{i\vec{k}(\vec{n}-\vec{m})$

$\hat{a}^+_{\vec{n}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\vec{k }}\hat{a}^+_{\vec{k}}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{n}$

$\hat{a}_{\vec{n}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\vec{k}} \hat{a}_{\vec{k}}e^{i\vec{k}\cdot\vec{n}}$

$\hat{b}^+_{\vec{n}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\vec{k }}\hat{b}^+_{\vec{k}}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{n}}$

$\hat{b}_{\vec{n}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\vec{k}} \hat{b}_{\vec{k}}e^{i\vec{k}\cdot\vec{n}}$

Evo sta sam ja raspisao

$-\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{a}^+ _{\vec{n}}\hat{a}_{\vec{n}}\langle \hat{a}^+_{\vec{n}}\hat{b}^+_{\vec{m}}\rangle=-\sum_{\vec{n},\vec{m}}\frac{1}{N^2}\sum_{\vec{k}}J (\vec{k})e^{i\vec{k}(\vec{n}-\vec{m})}\sum_{\vec{k}_1}\hat{a}^+_{\vec{k}_1}e^{-i\vec{k}_1\cdot\vec{n}}\sum_{\vec{k}_2}\hat{a}_{\vec{k}_2}e^{i\vec{k}_2\cdot\vec{n}}\frac{1}{N}\langle\sum_{\vec{k}_3}\hat{a}^+_{\vec{k}_3}e^{-i\vec{k}_3\cdot\vec{n}}\sum_{\vec{k}_4}\hat{b}^+_{ \vec{k}_4}e^{-i\vec{k}_4\cdot\vec{n}}\rangle=$

$=-\frac{1}{N^3}\sum_{\vec{k}}J(\vec{k})\sum_{\vec{k} _1,\vec{k}_2,\vec{k}_3,\vec{k}_4}\hat{a}^+_{\vec{k }_1}\hat{a}_{\vec{k}_2}\langle \hat{a}^+_{\vec{k}_3}\hat{b}^+_{\vec{k}_4}\rangle\sum_{\vec{n}}e^{i\vec{k}\cdot\vec{n}}e^{-i\vec{k}_1\cdot\vec{n}}e^{i\vec{k}_2\cdot\vec{n}}e ^{-i\vec{k}_3\cdot\vec{n}}\sum_{\vec{m}}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{m}}e^{-i\vec{k}_4\cdot\vec{m}}=$

$=-\frac{1}{N^3}\sum_{\vec{k}}J(\vec{k})\sum_{\vec{k} _1,\vec{k}_2,\vec{k}_3,\vec{k}_4}\hat{a}^+_{\vec{k }_1}\hat{a}_{\vec{k}_2}\langle \hat{a}^+_{\vec{k}_3}\hat{b}^+_{\vec{k}_4}\rangle N\delta_{\vec{k}+\vec{k}_2,\vec{k}_1+\vec{k}_3}N \delta_{\vec{k}_3,-\vec{k}_4}=$

$=-\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}J(\vec{k})\sum_{\vec{k}_1 ,\vec{k}_2}\hat{a}^+_{\vec{k}_1}\hat{a}_{\vec{k}_2 }\langle \hat{a}_{\vec{k}-\vec{k}_1+\vec{k}_2}\hat{a}_{-\vec{k}}\rangle$

Ocito negde gresim, a ne vidim gde. Unapred hvala na pomoci!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 30.11.2010. u 22:35 · pre 193 meseca #8

Ima li neko ideju?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 02.12.2010. u 11:54 · pre 193 meseca #9

Citat:

petarm: $\langle \hat{a}_{\vec{k}-\vec{k}_1+\vec{k}_2}\hat{a}_{-\vec{k}}\rangle$

Ovo usrednjavanje bi trebalo da ti da još jednu delta funkciju zato što moraš da imaš zakon održanja impulsa u nekoj formi: nagađam da treba da bude $-\vec{k}_1+\vec{k}_2=0$ , ali ne mogu ništa konkretno da ti kažem pošto ne znam na kom sistemu radiš (mada mi početni izraz deluje nešto sumnjivo).

Potpis

#define TRUE FALSE /*Happy debugging suckers*/

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 03.12.2010. u 10:29 · pre 193 meseca #10

Citat:

NicholasMetropolis: Ovo usrednjavanje bi trebalo da ti da još jednu delta funkciju zato što moraš da imaš zakon održanja impulsa u nekoj formi: nagađam da treba da bude $-\vec{k}_1+\vec{k}_2=0$ , ali ne mogu ništa konkretno da ti kažem pošto ne znam na kom sistemu radiš (mada mi početni izraz deluje nešto sumnjivo).

Ovo je jedan od clanova. Inace ih ima more. Nisam bas siguran kako da uocim ovaj zakon odrzanja impulsa. Imam neki hamiltonijan u direktnom prostoru. Radim Furije transformacije njegovih clanova ne bi li dobio hamiltonijan u reciprocnom prostoru. Kako sad da vidim taj zakon odrzanja impulsa?

U svakom slucaju verovatno je $\vec{k}_1=\vec{k}_2$

U tom slucaju mogu pisati

$\langle \hat{a}^+_{\vec{k}-\vec{k}_1+\vec{k}_2}\hat{a}^+_{-\vec{k}}\rangle=\langle\hat{a}^+_{\vec{k}}\hat{a}^+_{-\vec{k}}\rangle\delta_{\vec{k}_1,\vec{k}_2}$
I dobijam

$-\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}J(\vec{k})\sum_{\vec{k}_1 ,\vec{k}_2}\hat{a}^+_{\vec{k}_1}\hat{a}_{\vec{k}_2 }\langle \hat{a}^+_{\vec{k}-\vec{k}_1+\vec{k}_2}\hat{a}^+_{-\vec{k}}\rangle=-\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}J(\vec{k})\sum_{\vec{k}_1 ,\vec{k}_2}\hat{a}^+_{\vec{k}_1}\hat{a}_{\vec{k}_2 }\langle\hat{a}^+_{\vec{k}}\hat{a}^+_{-\vec{k}}\rangle\delta_{\vec{k}_1,\vec{k}_2}=-\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}J(\vec{k})\sum_{\vec{k}_1 }\hat{a}^+_{\vec{k}_1}\hat{a}_{\vec{k}_1 }\langle\hat{a}^+_{\vec{k}}\hat{a}^+_{-\vec{k}}\rangle= -\sum_{\vec{k}}\hat{a}^+_{\vec{k}}\hat{a}_{\vec{k}} \frac{1}{N}\sum_{\vec{q}}J(\vec{q})\langle \hat{a}^+_{\vec{q}}\hat{b}^+_{-\vec{q}}\rangle$

U prosloj poruci u poslednjem redu ispustio sam "krsteve". Ovde sam to popravio!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 04.12.2010. u 22:00 · pre 193 meseca #11

Citat:

petarm: Nisam bas siguran kako da uocim ovaj zakon odrzanja impulsa.

Za to moraš da mi kažeš o kom sistemu je reč. Da bismo to tačno znali treba nam hamiltonijan jer hamiltonijan sadrži sve simetrije.

Potpis

#define TRUE FALSE /*Happy debugging suckers*/

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 05.12.2010. u 01:42 · pre 193 meseca #12

Citat:

NicholasMetropolis: Za to moraš da mi kažeš o kom sistemu je reč. Da bismo to tačno znali treba nam hamiltonijan jer hamiltonijan sadrži sve simetrije.

Ne moramo taj hamiltonijan. Meni bi pomoglo da znam proceduru samog odredjivanja. Hajde npr. neki jednostavniji hamiltonijan - slucaj feromagneta

$\hat{H}=-\frac{1}{2}S^2\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}-S\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}+\frac{S}{2}\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}(\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}+\hat{b}^+_{\vec{m}}\hat{b}_{\vec{n}})+\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}(\langle\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{n}}\rangle\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}+\langle\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}\rangle\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{n}})-\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}(\langle\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{n}}\rangle\hat{b}^+_{\vec{m}}\hat{b}_{\vec{m}}+\langle\hat{b}^+_{\vec{m}}\hat{b}_{\vec{m}}\rangle\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{n}})$

Kako bi ti na osnovu simetrija ovog hamiltonijana zakljucio nesto o formi zakona odrzanja impulsa? Unapred hvala na odgovoru!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 07.12.2010. u 11:48 · pre 193 meseca #13

Jel možeš da daš originalni hamiltonijan bez dekuplovanja.

Potpis

#define TRUE FALSE /*Happy debugging suckers*/

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 07.12.2010. u 14:21 · pre 193 meseca #14

Naravno da moze!

$\hat{H}=-\frac{1}{2}S^2\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}-S\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}+\frac{S}{2}\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}(\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}+\hat{b}^+_{\vec{m}}\hat{b}_{\vec{n}})+\frac{1}{2}\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{n}}-\frac{1}{2}\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{n}}\hat{b}^+_{\vec{m}}\hat{b}_{\vec{m}}$

Nadam se da mi na ovom hamiltonijanu mozes objasniti kako da u opstem slucaju mogu videti zakon odrzanja impulsa? Hvala unapred!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 15.12.2010. u 13:39 · pre 193 meseca #15

Izvini što mi je trebalo ovoliko dugo da ti odgovorim, ali za ovo ipak treba malo više vremena, koga baš nemam nešto puno u poslednje vreme.

Kako god, jel možeš da mi kažeš šta to čitaš pošto mi ovaj hamiltonijan deluje malo čudno. Jesi li siguran da su svi indeksi u redu? Da ne treba hamiltonijan možda da bude:

$\hat{H}=-\frac{1}{2}S^2\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}} -S\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}+ \frac{S}{2}\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}(\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}+\hat{b}^+_{\vec{m}}\hat{b}_{\vec{n}})+ \frac{1}{2}\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}\hat{b}_{\vec{m}}- \frac{1}{2}\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{n}}\hat{b}^+_{\vec{m}}\hat{b}_{\vec{m}}$ ?

Potpis

#define TRUE FALSE /*Happy debugging suckers*/

Re: Kristalne strukture, feromagneti... Furije transform 17.12.2010. u 00:17 · pre 193 meseca #16

Razumem te u potpunosti!

Da greska je u hamiltonijanu. Izvinjavam se zbog toga. Trebalo bi da glasi!

$\hat{H}=-\frac{1}{2}S^2\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}-S\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}+\frac{S}{2}\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}(\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{n}}+\hat{b}^+_{\vec{m}}\hat{b}_{\vec{m}})+\frac{1}{2}\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{m}}-\frac{1}{2}\sum_{\vec{n},\vec{m}}I_{\vec{n},\vec{m}}\hat{b}^+_{\vec{n}}\hat{b}_{\vec{n}}\hat{b}^+_{\vec{m}}\hat{b}_{\vec{m}}$

Mada iskreno nisam siguran dal je ovaj primer dobar, ali nadam se da jeste. Dakle, kako bi se moglo zakljuciti nesto vise o zakonu odrzanja impulsa iz ovog hamiltonijana?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme