Neodređeni integral, problem

Neodređeni integral, problem 13.11.2010. u 21:30 · pre 194 meseca #1

Treba rešiti sledeći neodređeni integral
$\int \frac{x}{1+x^{2}}dx$
Smenom 1 + x^{2} = t dobija se $\frac{1}{2}ln(1+x^{2}) + C$
Ako uvedem smenu x^{2} = t onda mogu (valjda?) i ovako pisati:
$\int \frac{x}{1+x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{1+t}= \frac{1}{2}\int \frac{dt}{1^{2} + (\sqrt{t})^{2}}=\frac{1}{2}arctg\sqrt{t}=\frac{1}{2}arctg\sqrt{x^{2}}= \frac{1}{2}arctgx + C$

Kako je neodredjeni integral funkcije klasa funkcija koje se razlikuju do na konstantu (valjda?) zakljucujem
da se funkcije ln(1+x^2) i arctg(x) razlikuju do na konstantu, sto nije slucaj (proverio crtanjem).

pitanje: gde gresim?

Potpis

potp

Re: Neodređeni integral, problem 13.11.2010. u 22:04 · pre 194 meseca #2

$\left(\frac{\arctan(\sqrt t)}2\right)'=\frac 12\frac{(\sqrt t)'}{1+t}=\frac 14\frac 1{\sqrt t(1+t)}\neq\frac 12\frac 1{1+t}$

Probaj da u integralu $\frac 12\int\frac{dt}{1+t}$ uvedeš smenu $u=\sqrt t$ . Zbog $dt=2u\,du$ integral se svodi na $\int\frac{u\,du}{1+u^2}$ , a ne na $\frac 12\int\frac{du}{1+u^2}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Neodređeni integral, problem 13.11.2010. u 22:37 · pre 194 meseca #3

$\frac{1}{2}\int \frac{dt}{1^{2} + (\sqrt{t})^{2}}=\frac{1}{2}arctg\sqrt{t}$

Ova jednakost nije tacna... u imeniocu ti je $\sqrt{t}$ a u brojiocu dt

Potpis

Live to win, dare to fail.

Re: Neodređeni integral, problem 13.11.2010. u 23:14 · pre 194 meseca #4

Proverio sam i ja racun "otpozadi", ali mi on nije dao odgovor na pitanje gde gresim. On mi je samo rekao da gresim negde. Drugi red: ako u taj integral uvedem smenu koju predlazes dobijem pocetni problem, naravno da cu to da dobijem, time je "anulirana" smenu x^{2} = t i vratili se na pocetak.

Sta tacno nije u redu sa tom jednakoscu? Mozes li da mi napises LevaStrana[onako_kako_stoji] = TacnaDesnaStrana[onako kako ti smatras].

Potpis

potp

Re: Neodređeni integral, problem 13.11.2010. u 23:40 · pre 194 meseca #5

skontao sam u cemu je caka: smena koju nedeljko predlaze je "obavezna" ako hocu da pucam na arctg (u tom smislu jednakost koju pominje montenegr1 nije tacna, i zaista nije tacna), a kada je uradim dobijem pocetni problem, a ne arctg. Drugim recima t sustinski mora biti kvadratna funkcija ako zelim da pucam na arctg, ja sam samo kroz formalizam namestio da ona tako izgleda.

hvala.

Potpis

potp

Re: Neodređeni integral, problem 13.11.2010. u 23:53 · pre 194 meseca #6

Poenta je u tome da je $\arctan(f(x))'=\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}$ , a ne $\frac 1{1+f^2(x)}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Neodređeni integral, problem 18.11.2010. u 03:05 · pre 194 meseca #7

nisam bas proradio zadatak ... ali javi mi ako parcijalnom integracijom na kraju dobijes arctg .... u stavi da je u = 1/(1+x^2) .... vjerovatno lupam i kasno je pa ne znam jesam li dobro shvatio muku ovu ... heheheh ... pozdrav

Re: Neodređeni integral, problem 18.11.2010. u 16:38 · pre 194 meseca #8

Citat:

kafikis: $\ldots= \frac{1}{2}\int \frac{dt}{1^{2} + (\sqrt{t})^{2}}=\frac{1}{2}arctg\sqrt{t}=\ldots$

pitanje: gde gresim?

Tu je greška. Ako ti je već $\sqrt t=z$ , $\frac{\hbox{d}t}{2\sqrt t}=\hbox{d}z$ , onda $\int\frac{\hbox{d}t}{1+(\sqrt t)^2}\neq\int\frac{\hbox{d}z}{1+z^2}$ .

Kada primenjuješ smenu, moraš da promeniš sva mesta gde se javlja stara promenljiva (tj. i njen diferencijal).

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme