Ova f-ja nije neprekidna. Ili greshim ?
Ova f-ja nije neprekidna. Ili greshim ?
Kratko pitanje u vezi neprekidnosti funkcija
Zaključano
Zakačeno
Ova f-ja nije neprekidna. Ili greshim ?
Razmisli dobro. Šta je domen funkcije 
?
Onda reši tu nejednačinu i dobićeš domen zadate funkcije (na kome je ona neprekidna, a van koga nije neprekidna).
?Onda reši tu nejednačinu i dobićeš domen zadate funkcije (na kome je ona neprekidna, a van koga nije neprekidna).
Reshio sam pre postavljanja teme. :) Upravo zato sam je i postavio. Domen f-je je:
![Df: x \epsilon (- \infty , -1] U [1, \infty )](https://static.elitesecurity.org/tex/88fbcff8a90c35ea4e19201a9047b358.png)
Dakle, kada ispitujem neprekidnost f-je, navodim da je neprekidna na definisanom domenu, i da je prekidna u tachkama/na intervalu koji nije definisan domenom(ako postoji)?
Izvinjavam se, pogreshno sam interpretirao ispitivanje neprekidnosti f-je. Smatrao sam da postoji univerzalan odgovor, da je f-ja neprekidna, ili ne. A to zavisi od domena. :)
Znachi, ovako bi glasilo:
F-ja je neprekidna za![x \epsilon (- \infty , -1] U [1, \infty )](https://static.elitesecurity.org/tex/6ce40d3f8b17ba8f8e1ec4c0887d11e7.png)
F-ja ima prekid za
Da li je ovako ok?
Dakle, kada ispitujem neprekidnost f-je, navodim da je neprekidna na definisanom domenu, i da je prekidna u tachkama/na intervalu koji nije definisan domenom(ako postoji)?
Izvinjavam se, pogreshno sam interpretirao ispitivanje neprekidnosti f-je. Smatrao sam da postoji univerzalan odgovor, da je f-ja neprekidna, ili ne. A to zavisi od domena. :)
Znachi, ovako bi glasilo:
F-ja je neprekidna za
F-ja ima prekid za
Da li je ovako ok?
U udžbenicima Analize 1 (bar u Kadelburgovom je tako) piše da se, ukoliko se posebno ne navede domen, podrazumeva da je to najšira oblast za koju funkcija ima smisla. Na primer, ako ne navedemo domen funkcije 
, podrazumeva se 
, i funkcija jeste neprekidna. Međutim, ako eksplicitno postavimo pitanje: „Da li je funkcija 
na segmentu ![[0,1]](https://static.elitesecurity.org/tex/c7ea75ef1f69a8854afe1f5606550a24.png)
neprekidna?“, odgovor je da nije.
Tvoje rezonovanje je, dakle, u redu.
, podrazumeva se , i funkcija jeste neprekidna. Međutim, ako eksplicitno postavimo pitanje: „Da li je funkcija na segmentu neprekidna?“, odgovor je da nije.Tvoje rezonovanje je, dakle, u redu.
Cabo moram da te ispravim. Neprekidnost funkcije se definiše samo na domenu funkcije. Van domena, funkcija nije ni neprekidna, ni prekidna.
Za funkciju, koja je na celom svom domenu neprekidna, kraće se kaže da je neprekidna. U protivnom je prekidna.
Dakle, tangens je neprekidna funkcija.
Za funkciju, koja je na celom svom domenu neprekidna, kraće se kaže da je neprekidna. U protivnom je prekidna.
Dakle, tangens je neprekidna funkcija.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Citat:
Nedeljko: Cabo moram da te ispravim. Neprekidnost funkcije se definiše samo na domenu funkcije. Van domena, funkcija nije ni neprekidna, ni prekidna.
Za funkciju, koja je na celom svom domenu neprekidna, kraće se kaže da je neprekidna. U protivnom je prekidna.
Dakle, tangens je neprekidna funkcija.
Za funkciju, koja je na celom svom domenu neprekidna, kraće se kaže da je neprekidna. U protivnom je prekidna.
Dakle, tangens je neprekidna funkcija.
Katkad se kaze da je realan niz neprekidna funkcija na skupu prirodnih brojeva, a prekidna na skupu realnih brojeva. To je u vezi sa onim sto matematicari katkad kazu funkcija je neprekidna ako mozes da je crtas na tabli ne odvajajuci kredu s table. Niz
na tabli nacrtaces kao niz tackica, ali je na svom domenu, sto je skup prirodnih brojeva, ovo neprekidna funkcija.
Postoji više vrsta prekida.
Ako domenu funkcije ne pripada neka tačka, logično je da u njoj ona nije neprekidna. :-/
Mrzi me sada da vadim tačan Kadelburgov primer, ali je bio sličan onome što sam ja dao. Dakle, radilo se o drugačijem domenu, pa je ista funkcija u jednom slučaju neprekidna, a u drugom nije.
Naravno da je tangens neprekidna funkcija, ali nije neprekidna na celom skupu realnih brojeva.
Ako domenu funkcije ne pripada neka tačka, logično je da u njoj ona nije neprekidna. :-/
Mrzi me sada da vadim tačan Kadelburgov primer, ali je bio sličan onome što sam ja dao. Dakle, radilo se o drugačijem domenu, pa je ista funkcija u jednom slučaju neprekidna, a u drugom nije.
Naravno da je tangens neprekidna funkcija, ali nije neprekidna na celom skupu realnih brojeva.
To je ustvari ono shto me je zbunjivalo. Neprekidnost zavisi od skupa nad kojim se posmatra f-ja. Po ovome do sada rechenom, posmatra se na domenu, osim ako nije naglasheno drugachije. I tada ne vidim kako moze biti prekidna. Zato mi je bezveze shto se radi tachka neprekidnost prilikom ispitivanja, kod ovih zadataka koje trenutno radim, kad je uvek isti odgovor. :)
Hvala na pomoci
Hvala na pomoci
Može biti prekidna, recimo, ako je 
. To je neotklonjiv prekid 1. ili 2. vrste (zaboravih 
).
Još jedna vrsta neotklonjivog prekida (ona druga) je kada tačka ne pripada domenu.
Ima i prekida kada funkcija samo u jednoj tački ima drugačiju vrednost, ali postoji limes u toj tački. To je otklonjiv prekid.
U svakom slučaju, piše sve u teoriji.
. To je neotklonjiv prekid 1. ili 2. vrste (zaboravih ).Još jedna vrsta neotklonjivog prekida (ona druga
) je kada tačka ne pripada domenu.Ima i prekida kada funkcija samo u jednoj tački ima drugačiju vrednost, ali postoji limes u toj tački. To je otklonjiv prekid.
U svakom slučaju, piše sve u teoriji.
Uzmite lepo udžbenike analize 1, pa vidite šta je neprekidnost. Data je npr funkcija arctan koja, slika R u R. Šta je njen skup tačaka prekida? Svi mogući objekti koji nisu realni brojevi? Pa, to nije skup. Ispade da nizajednu funkciju f:A->B ne postoji njen skup tačaka prekida, jer ne postoji nijedan skup S kome pripada sve što ne pripada skupu A, kakav god da je skup A.
Evo šta kaže akademik Milosav Marijanović u svom udžbeniku analize 1:
Dakle, pojam neprekidnosti van domena funkcije se nigde ne pominje. Slično je i kod Kadelburga.
Ne znam kako kod vas fizičara, ali za ovo prvi put čujem. Koliko se ja razumem, svako preslikavanje diskretnog prostora u bilo kakav drugi prostor je neprekidno, tako da je svaki realan niz neprekidno preslikavanje skupa N u R. No, kod vas je terminologija drugačija. Čuo sam da je za fizičare diskretnost ono što je za matematičare potpuna nepovezanost, pa je Q diskretan za fizičare, a za matematičare nije.
Evo šta kaže akademik Milosav Marijanović u svom udžbeniku analize 1:
Citat:
Funkcija 
sa metričkog prostora 
u metrčki prostor 
je neprekidna u tački 
ako je ispunjen uslov
,
gde je
otvorena okolina tačke 
.
sa metričkog prostora u metrčki prostor je neprekidna u tački ako je ispunjen uslov,gde je
otvorena okolina tačke .Citat:
Funkcija koja je neprekidna u svakoj tački 
kaže se da je neprekidna na 
ili prosto neprekidna.
koja je neprekidna u svakoj tački kaže se da je neprekidna na ili prosto neprekidna.Dakle, pojam neprekidnosti van domena funkcije se nigde ne pominje. Slično je i kod Kadelburga.
Citat:
petarm: Katkad se kaze da je realan niz neprekidna funkcija na skupu prirodnih brojeva, a prekidna na skupu realnih brojeva. To je u vezi sa onim sto matematicari katkad kazu funkcija je neprekidna ako mozes da je crtas na tabli ne odvajajuci kredu s table. Niz na tabli nacrtaces kao niz tackica, ali je na svom domenu, sto je skup prirodnih brojeva, ovo neprekidna funkcija.
na tabli nacrtaces kao niz tackica, ali je na svom domenu, sto je skup prirodnih brojeva, ovo neprekidna funkcija.Ne znam kako kod vas fizičara, ali za ovo prvi put čujem. Koliko se ja razumem, svako preslikavanje diskretnog prostora u bilo kakav drugi prostor je neprekidno, tako da je svaki realan niz neprekidno preslikavanje skupa N u R. No, kod vas je terminologija drugačija. Čuo sam da je za fizičare diskretnost ono što je za matematičare potpuna nepovezanost, pa je Q diskretan za fizičare, a za matematičare nije.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Evo linkova i sa vikipedije
Continuous functions between metric spaces
Continuous functions between topological spaces
Dakle, nigde pomena o pojmu neprekidnosti van domena funkcije.
Continuous functions between metric spaces
Continuous functions between topological spaces
Dakle, nigde pomena o pojmu neprekidnosti van domena funkcije.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Naći ću Kadelburgov udžbenik i prekucaću primer. Ne mogu ovako „na prepad“.
Sve što sam napisao se zasniva na onome čega se sećam iz Analize 1, koju sam položio pre 6 godina.
Sve što sam napisao se zasniva na onome čega se sećam iz Analize 1, koju sam položio pre 6 godina.
Evo definicija iz Kadelburga
Citat:
Za funkciju 
realne promenljive kažemo da je neprekidna u tački 
ako za svaku okolinu 
tačke 
postoji okolina 
tačke 
(u skupu 
) takva da je 
. Drugim rečima, 
je neprekidna u ako
.
realne promenljive kažemo da je neprekidna u tački ako za svaku okolinu tačke postoji okolina tačke (u skupu ) takva da je . Drugim rečima, je neprekidna u ako.Citat:
Za tačku kažemo da je tačka prekida funkcije ako nije neprekidna u toj tački.
kažemo da je tačka prekida funkcije ako nije neprekidna u toj tački.Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Dakle, posto sve lepo pise u knjigama, mozemo samo da komentarisemo...
Zaista, malo je nesuvislo govoriti o prekidnosti funkcije u tacki u kojoj nije definisana. Iako se cini primamljivo reci da npr 1/x ima prekid u tacki 0, prema prethodnom, o ovoj osobini se ne moze govoriti u tacki koja nije u domenu. Verujem da nikom ne bi palo na pamet da razmislja o prekidnosti log(x) u npr -2, pa cak ni u 0, iako je tako blizu.
To je verovatno posledica predstave o "liniji koje se crta bez dizanja olovke sa papira"...
Konfuziju mozda uvodi i termin "otklonjiv/neotklonjiv prekid", koji koristi rec "prekid" na drugaciji nacin od definicije prekidnosti, odnosno bas na gorepomenuti intuitivan nacin sa crtanjem. Koliko se secam, u ovom kontekstu, tacka koja se posmatra je u zatvaranju domena, tj. svaka njena okolina sece domen, nesto kao 0 za funkciju 1/x. (mozda cak takva tacka i ne treba da bude u domenu, to se nesto ne secam).
I onda kazemo da je "prekid otklonjiv" ako se funkcija f(x) moze dodefinisati, tj. moze se napraviti funkcija
F(x) = {f(x) za x iz Df, A za x = a} koja je neprekidna (Df je domen funkcije f).
Npr exp(-1/x^2), ciji je domen R\{0}, ali se moze dodefinisati sa F(x) za koju je F(0) = 0.
Iz ovoga se moze izvesti zakljucak da ako funkcija ima prekid, onda on nije otklonjiv, jer je tacka prekida vec u domenu pa nikakvo dodefinisanje ne pomaze (ovo sad spekulisem, nije moje znanje iz knjiga).
Od ovih elementarnih, koliko se secam, jedino je sgn(x) prekidna funkcija.
@lonelyrider_44
Tvoja zbunjenost je opravdana :) Jer, zaista, mi kazemo da je funkcija realne promenljive ako je njen domen podskup R. Ali to moze biti onda i skup Q, ili N, ili {1,2}... Pa bi mozda smanjivanje kontejnera domena dovelo do promene nekih osobina. Nesto se ne secam sta teorija kaze o tome, nek me neko ispravi.
Zaista, malo je nesuvislo govoriti o prekidnosti funkcije u tacki u kojoj nije definisana. Iako se cini primamljivo reci da npr 1/x ima prekid u tacki 0, prema prethodnom, o ovoj osobini se ne moze govoriti u tacki koja nije u domenu. Verujem da nikom ne bi palo na pamet da razmislja o prekidnosti log(x) u npr -2, pa cak ni u 0, iako je tako blizu.
To je verovatno posledica predstave o "liniji koje se crta bez dizanja olovke sa papira"...
Konfuziju mozda uvodi i termin "otklonjiv/neotklonjiv prekid", koji koristi rec "prekid" na drugaciji nacin od definicije prekidnosti, odnosno bas na gorepomenuti intuitivan nacin sa crtanjem. Koliko se secam, u ovom kontekstu, tacka koja se posmatra je u zatvaranju domena, tj. svaka njena okolina sece domen, nesto kao 0 za funkciju 1/x. (mozda cak takva tacka i ne treba da bude u domenu, to se nesto ne secam).
I onda kazemo da je "prekid otklonjiv" ako se funkcija f(x) moze dodefinisati, tj. moze se napraviti funkcija
F(x) = {f(x) za x iz Df, A za x = a} koja je neprekidna (Df je domen funkcije f).
Npr exp(-1/x^2), ciji je domen R\{0}, ali se moze dodefinisati sa F(x) za koju je F(0) = 0.
Iz ovoga se moze izvesti zakljucak da ako funkcija ima prekid, onda on nije otklonjiv, jer je tacka prekida vec u domenu pa nikakvo dodefinisanje ne pomaze (ovo sad spekulisem, nije moje znanje iz knjiga).
Od ovih elementarnih, koliko se secam, jedino je sgn(x) prekidna funkcija.
@lonelyrider_44
Tvoja zbunjenost je opravdana :) Jer, zaista, mi kazemo da je funkcija realne promenljive ako je njen domen podskup R. Ali to moze biti onda i skup Q, ili N, ili {1,2}... Pa bi mozda smanjivanje kontejnera domena dovelo do promene nekih osobina. Nesto se ne secam sta teorija kaze o tome, nek me neko ispravi.
Da, evo primera:
Funkcija van domena nema tačke prekida, ali istovremeno tu nije neprekidna. Zaista, zbunjujuće.
Takođe:
Drugim rečima, ako je domen jednostran, i postoji limes na rubu domena, onda je u rubu domena prekid prve vrste. Ako domen nije jednostran, i postoje levi i desni limes u nekoj tački prekida (tj. tački u kojoj funkcija nije neprekidna), ta tačka je otklonjiva tačka prekida ako su levi i desni limes jednaki, a neotklonjiva ako nisu.
Ako jednostrani limesi ne postoje, tačka je tačka prekida druge vrste.
Šta da kažem, zaboravio sam sve ovo. :-/ Davno je bilo, a u predmetima iz narednih godina se ove stvari ne koriste baš tako intenzivno.
Citat:
Tako, na primer, tačka 
nije tačka prekida funkcije 
, jer, u skladu sa našom konvencijom datom u odeljku 4.1, za tu funkciju podrazumevamo da joj je domen .
nije tačka prekida funkcije , jer, u skladu sa našom konvencijom datom u odeljku 4.1, za tu funkciju podrazumevamo da joj je domen .Funkcija van domena nema tačke prekida, ali istovremeno tu nije neprekidna. Zaista, zbunjujuće.
Takođe:
Citat:
Definicija 5.1.3
Neka je
i tačka prekida funkcije . Kaže se da je u tački :
prekid prve vrste funkcije ako postoje konačne granične vrednosti 
i 
; ako je tačka nagomilavanja samo jednog od skupova 
, 
, zahteva se samo postojanje jednog (odgovarajućeg) od tih limesa; specijalno, takav prekid je otklonjiv ako je još 
, tj. ako postoji 
;
prekid druge vrste funkcije ako nije prve vrste.
Neka je
i tačka prekida funkcije . Kaže se da je u tački : prekid prve vrste funkcije ako postoje konačne granične vrednosti i ; ako je tačka nagomilavanja samo jednog od skupova , , zahteva se samo postojanje jednog (odgovarajućeg) od tih limesa; specijalno, takav prekid je otklonjiv ako je još , tj. ako postoji ; prekid druge vrste funkcije ako nije prve vrste.Drugim rečima, ako je domen jednostran, i postoji limes na rubu domena, onda je u rubu domena prekid prve vrste. Ako domen nije jednostran, i postoje levi i desni limes u nekoj tački prekida (tj. tački u kojoj funkcija nije neprekidna), ta tačka je otklonjiva tačka prekida ako su levi i desni limes jednaki, a neotklonjiva ako nisu.
Ako jednostrani limesi ne postoje, tačka je tačka prekida druge vrste.
Šta da kažem, zaboravio sam sve ovo. :-/ Davno je bilo, a u predmetima iz narednih godina se ove stvari ne koriste baš tako intenzivno.
Pa, eto, rekao sam ti da se van domena neprekidnost ne definiše. Van domena funkcija nije ni prekidna ni neprekidna.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Citat:
darkosos: Zaista, malo je nesuvislo govoriti o prekidnosti funkcije u tacki u kojoj nije definisana. Iako se cini primamljivo reci da npr 1/x ima prekid u tacki 0, prema prethodnom, o ovoj osobini se ne moze govoriti u tacki koja nije u domenu. Verujem da nikom ne bi palo na pamet da razmislja o prekidnosti log(x) u npr -2, pa cak ni u 0, iako je tako blizu.
To je verovatno posledica predstave o "liniji koje se crta bez dizanja olovke sa papira"...
To je verovatno posledica predstave o "liniji koje se crta bez dizanja olovke sa papira"...
Kakav papir, kakva olovka. Radi se o maloj promeni vrednosti za malu promenu argumenta, a argument ne može da se kreće van domena.
Citat:
darkosos: Konfuziju mozda uvodi i termin "otklonjiv/neotklonjiv prekid", koji koristi rec "prekid" na drugaciji nacin od definicije prekidnosti, odnosno bas na gorepomenuti intuitivan nacin sa crtanjem. Koliko se secam, u ovom kontekstu, tacka koja se posmatra je u zatvaranju domena, tj. svaka njena okolina sece domen, nesto kao 0 za funkciju 1/x. (mozda cak takva tacka i ne treba da bude u domenu, to se nesto ne secam).
I onda kazemo da je "prekid otklonjiv" ako se funkcija f(x) moze dodefinisati, tj. moze se napraviti funkcija
F(x) = {f(x) za x iz Df, A za x = a} koja je neprekidna (Df je domen funkcije f).
Npr exp(-1/x^2), ciji je domen R\{0}, ali se moze dodefinisati sa F(x) za koju je F(0) = 0.
Iz ovoga se moze izvesti zakljucak da ako funkcija ima prekid, onda on nije otklonjiv, jer je tacka prekida vec u domenu pa nikakvo dodefinisanje ne pomaze (ovo sad spekulisem, nije moje znanje iz knjiga).
I onda kazemo da je "prekid otklonjiv" ako se funkcija f(x) moze dodefinisati, tj. moze se napraviti funkcija
F(x) = {f(x) za x iz Df, A za x = a} koja je neprekidna (Df je domen funkcije f).
Npr exp(-1/x^2), ciji je domen R\{0}, ali se moze dodefinisati sa F(x) za koju je F(0) = 0.
Iz ovoga se moze izvesti zakljucak da ako funkcija ima prekid, onda on nije otklonjiv, jer je tacka prekida vec u domenu pa nikakvo dodefinisanje ne pomaze (ovo sad spekulisem, nije moje znanje iz knjiga).
Jok, prekid je upravo tačka domena u kojoj funkcija nije neprekidna. On je prve vrste ako postoje oba limesa i konačni su (inače je prekid druge vrste), a otklonjiv ako se vrednost u toj tački može promeniti tako da funkcija bude neprekidna. Vidi definiciju.
Citat:
darkosos: Od ovih elementarnih, koliko se secam, jedino je sgn(x) prekidna funkcija.
Sve elementarne su neprekidne. Signum nije elementarna funkcija.
Citat:
darkosos: Tvoja zbunjenost je opravdana :) Jer, zaista, mi kazemo da je funkcija realne promenljive ako je njen domen podskup R. Ali to moze biti onda i skup Q, ili N, ili {1,2}... Pa bi mozda smanjivanje kontejnera domena dovelo do promene nekih osobina. Nesto se ne secam sta teorija kaze o tome, nek me neko ispravi.
Upravo se zato ovi pojmovi definišu tako kako se definišu da se ne bi razmišljalo o "kontejneru domena", jer je definicija neprekidnosti univerzalna. Ne odnosi se samo na funkcije realne promenljive.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
U knjizi koja je spomenuta ovih dana http://www.elitesecurity.org/t...c-Vas-Uvod-matematicku-analizu
autori prvo definisu tzv. osnovne elementarne funkcije:
Konstantna funkcija, Stepena funkcija, Eksponencijalna funkcija, Trigonometrijske funkcije, Inverzne trigonometrijske funkcije
I onda ovako definise elementarne funkcije
def
1. Osnovne elementarne funkcije su elementarne funkcije
2. Ako su i 
elementarne funkcije, 
(
- nula funkcija), tada su elementarne funkcije i 
3. Elementarne funkcije se mogu dobiti samo konacnom primenom pravila 1. i 2. ove definicije
autori prvo definisu tzv. osnovne elementarne funkcije:
Konstantna funkcija, Stepena funkcija, Eksponencijalna funkcija, Trigonometrijske funkcije, Inverzne trigonometrijske funkcije
I onda ovako definise elementarne funkcije
def
1. Osnovne elementarne funkcije su elementarne funkcije
2. Ako su
i elementarne funkcije, ( - nula funkcija), tada su elementarne funkcije i 3. Elementarne funkcije se mogu dobiti samo konacnom primenom pravila 1. i 2. ove definicije
Citat:
Nedeljko: Kakav papir, kakva olovka. Radi se o maloj promeni vrednosti za malu promenu argumenta, a argument ne može da se kreće van domena.
Kakva mala promena vrednosti za malu promenu argumenta? Pa to je isto sto i olovka i papir, samo drugacije receno. Zato sam i stavio pod znake navoda, ne razumem ovu agresiju :)
U pravu si za otklonjiv/neotklonjiv prekid, iako ja nisam rekao da tacka nije u domenu, vec samo da se toga tacno ne secam. Primer koji sam dao se zapravo odnosi na otklonjiv singularitet, pri cemu je jedina razlika da li je tacka u domenu ili ne, sve ostalo je isto.
Citat:
Nedeljko: Upravo se zato ovi pojmovi definišu tako kako se definišu da se ne bi razmišljalo o "kontejneru domena", jer je definicija neprekidnosti univerzalna. Ne odnosi se samo na funkcije realne promenljive.
Ovo mi nije jasno, "definisu se tako kako se definisu"? Sta to znaci konkretno?
Citat:
darkosos: Kakva mala promena vrednosti za malu promenu argumenta? Pa to je isto sto i olovka i papir, samo drugacije receno. Zato sam i stavio pod znake navoda, ne razumem ovu agresiju :)
Pa, nije isto, jer domen ne mora biti povezan. Nacrtaj 1/x ne dižući olovku sa papira. Sa druge strane, za male promene argumenta se vrednost zaista malo menja.
Citat:
darkosos: Ovo mi nije jasno, "definisu se tako kako se definisu"? Sta to znaci konkretno?
Da su takve definisije izabrane sa debelim razlogom.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.