Kratko pitanje u vezi neprekidnosti funkcija

Izabrati epsilon > 0 proizvoljno male vrednosti i posmatrati funkciju unutar trake odredjene horizontalnim linijama f(x₀) - epsilon i f(x₀) + epsilon.

Menjati delta > 0 proizvoljno. Ako sve tačke funkcije za vrednsoti argumenta izmedju x₁ = x₀ - delta i x₂ = x₀ + delta ostaju unutar te trake funkcija je neprekidna. Ako takvo delta ne može da se pronadje funkcija nije neprekidna u tački x₀.

Na sl. 1. se vidi da se za izabrano epsilon može odrediti delta tako da su sve tačke funkcije za vrednosti argumenta izmedju x₁ i x₂ unutar trake. Medjutim to mora da važi za svako epsilon > 0. Izborom epsilon kako je dato na sl. 2. koliko god da se menja delta > 0 neke tačke fukcije se nalaze van trake. Zaključak data funkcija nije neprekidna u tački x₀.

Dakle traži se epsilon koje ne zadovoljava definiciju neprekidnosti funkcije. Ako se takvo epsilon nepronadje funkcija je neprekidna. Ovo nije intuitivno ali je matematički ispravno.

Tangens je neprekidna funkcija. Tačke oblika kπ+π/2 su potpuno nebitne jer za ma koje epsilon > 0 za dato x₀ može se odrediti delta > 0 tako da su sve tačke funkcije tangens za tako odredjeno delta unutar opisane trake. Drugim rečima ako funkcija nije definisana u nekoj tački nemože se ni govoriti o neprekidnosti funkcije u toj tački jer tu nema funkcije.

Ukoliko nemožete da shvatite nemojte se nervirati. To znači da ste normalni jer matematičarima je trebalo 100 godina da definišu neprekidnost.