Kako se odreduje Moment Inercije tijela preko integrala......????

Kako se odreduje Moment Inercije tijela preko integrala......???? 03.04.2006. u 22:19 · pre 250 meseci #1

Kako ono ide preko integrala,,moment inercije za bilo koju osu
(neki sajt)????

_{[Ovu poruku je menjao atlas dana 03.04.2006. u 23:20 GMT+1]}

Re: Kako se odreduje Moment Inercije tijela preko integrala......???? 03.04.2006. u 22:48 · pre 250 meseci #2

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

malo proceljaj trebalo bi da ima...

Potpis

Boba, the one and only himself!

Re: Kako se odreduje Moment Inercije tijela preko integrala......???? 09.10.2010. u 15:27 · pre 195 meseci #3

To treba i meni,zapravo,određivanje momenta inercije za ravnu površinu,za karakteristične preseke,preko Štajnerove teoreme pomoću integrala

Re: Kako se odreduje Moment Inercije tijela preko integrala......???? 09.10.2010. u 16:29 · pre 195 meseci #4

Opšti izraz za komponente tenzora inercije tela gustine $\rho(\vec{r})$ je

$I_{ij}=\int_V \rho(\vec{r})(r^2\delta_{ij}-r_i r_j)dV$

Kada umesto tela, posmatraš površ sa površinskom gustion $\sigma(\vec{r})$ izraz očigledno postaje

$I_{ij}=\int_S \sigma(\vec{r})(r^2\delta_{ij}-r_i r_j)dS$

Ako imate nekih pitanja za konkretne primere, postavite ih ovde pa ću odgovoriti kada budem imao vremena.

Potpis

#define TRUE FALSE /*Happy debugging suckers*/

Re: Kako se odreduje Moment Inercije tijela preko integrala......???? 15.10.2010. u 13:34 · pre 195 meseci #5

Malo da razjasnim ovu pricu! Veza izmedju linijske i ugaone brzine je data relacijom

$\vec{\upsilon}=\vec{\omega}\times\vec{r}$

$dT=\frac{1}{2}dm\vec{\upsilon}^2(\vec{r})$

gde je

$dm=dV\rho(\vec{r})$

$\rho=\rho(\vec{r})$ - gustina tela

Telo nije homogeno!

$dT=\frac{1}{2}dV\rho(\vec{r})\vec{\upsilon}^2$

$dT=\frac{1}{2}dV\rho(\vec{r})(\vec{\omega}\times\vec{r})^2$

$T=\frac{1}{2}\int dV\rho(\vec{r})(\vec{\omega}\times\vec{r})^2$

$(\vec{\omega}\times\vec{r})^2=(\vec{\omega}\times\vec{r})\cdot (\vec{\omega}\times\vec{r})=\vec{\omega}\cdot[\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})]$

U poslednjem koraku iskoriscena je osobina mesovitog proizvoda - invarijantnost u odnosu na ciklicne permutacije! Za izraz u zagradi upotrebimo dvostruki vektorski proizvod

$\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})$

Odatle je

$\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=\vec{\omega}(\vec{r}\cdot\vec{r})-\vec{r}(\vec{\omega}\cdot\vec{r})=r^2\vec{\omega}-\vec{r}(\vec{\omega}\cdot\vec{r})$

pa je

$(\vec{\omega}\times\vec{r})^2=\vec{\omega}\cdot[r^2\vec{\omega}-\vec{r}(\vec{\omega}\cdot\vec{r})]=\omega^2r^2-(\vec{\omega}\cdot\vec{r})^2$

$\upsilon^2=\omega^2r^2-(\vec{\omega}\cdot\vec{r})^2=(\omega_x^2+\omega_y^2+\omega_z^2)(x^2+y^2+z^2)-(\omega_xx+\omega_yy+\omega_zz)^2$

Kada se ovo izmnozi kvadrira i sredi (neki clanovi ce se potirati) dobija se:

$\upsilon^2=\omega_x^2(y^2+z^2)+\omega_y^2(x^2+z^2)+\omega_z^2(x^2+y^2)-2\omega_x\omega_yxy-2\omega_x\omega_zxz-2\omega_y\omega_zyz$

Odatle imamo:

$T=\frac{1}{2}\{\omega_x^2\int dV\rho(\vec{r})(y^2+z^2)+\omega_y^2\int dV\rho(\vec{r})(x^2+z^2)+\omega_z^2\int dV\rho(\vec{r})(x^2+y^2)+\omega_x\omega_y(-\int dV\rho(\vec{r})xy)+\omega_x\omega_z(-\int dV\rho(\vec{r})xz)+\omega_y\omega_y(-\int dV\rho(\vec{r})yz)+\omega_y\omega_x(-\int dV\rho(\vec{r})yx)+\omega_z\omega_x(-\int dV\rho(\vec{r})zx)+\omega_z\omega_y(-\int dV\rho(\vec{r})zy)\}$

I sad uvedemo komponente tenzora momenta inercije

$I_{xx}=\int dV\rho(\vec{r})(y^2+z^2)$

$I_{yy}=\int dV\rho(\vec{r})(x^2+z^2)$

$I_{zz}=\int dV\rho(\vec{r})(x^2+y^2)$

odnosno

$I_{ii}=\int dV\rho(\vec{r})(r^2-x_i^2)$

$I_{ij}=I_{ji}=-\int dV\rho(\vec{r})x_ix_j$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Srodne teme