Limes sa trig. f-jama

Limes sa trig. f-jama 03.09.2010. u 08:37 · pre 196 meseci #1

$\lim_{x \to 0} { x + {\sin x} \over x - {\sin x} }$

Da li je ovde dovoljno lopitalovo pravilo ili... ? Da li ovaj limes tezi -1 ?

Unapred hvala na pomoci

Re: Limes sa trig. f-jama 03.09.2010. u 08:59 · pre 196 meseci #2

Lopital može, nije -1. $f'(x) =1+\cos x$ , $g'(x) = 1-\cos x$ , ne znam kako sada dobijaš -1. Inače bez izvoda:

$\lim_{x \to 0} {x (1+{\sin x \over x}) \over x (1-{\sin x \over x}) } = \infty$ , jer $\lim_{x \to 0} {\sin x \over x} = 1$

Potpis

http://sr.libreoffice.org — slobodan kancelarijski paket, obrada teksta, tablice,
prezentacije, legalno bez troškova licenciranja

Re: Limes sa trig. f-jama 03.09.2010. u 09:00 · pre 196 meseci #3

1. Može Lopitalovo pravilo.
2. Ne nije -1. Pogledaj malo bolje šta ti je u brojiocu i imeniocu. |x| > |sin x| osim za x=0. pa su i brojilac i imenilac istog znaka.

Re: Limes sa trig. f-jama 03.09.2010. u 09:19 · pre 196 meseci #4

Verovatno je bila greška u izvodu brojioca Umesto $g'(x) = 1-\cos x$ napisao je $g'(x) = -1-\cos x$ .

Btw, i $\lim_{x \to 0} {\sin x \over x}$ se primenom Lopitalovog pravila svede na $\lim_{x \to 0} {\cos x \over 1}$

Re: Limes sa trig. f-jama 03.09.2010. u 09:38 · pre 196 meseci #5

Da, ali može i slabijim http://en.wikipedia.org/wiki/L...ction#Limits_of_extra_interest

Potpis

http://sr.libreoffice.org — slobodan kancelarijski paket, obrada teksta, tablice,
prezentacije, legalno bez troškova licenciranja

Re: Limes sa trig. f-jama 03.09.2010. u 09:42 · pre 196 meseci #6

Interesantno da i Wolframalpha to radi preko Lopitalovog pravila, ali su ga baš zakomplikovali...

Re: Limes sa trig. f-jama 03.09.2010. u 11:02 · pre 196 meseci #7

Čisto da pomenem da se činjenica $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}x=1$ koristi u dokazu da je izvod sinusa kosinus, mada to zavisi i od izbora definicije sinusa.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Limes sa trig. f-jama 03.09.2010. u 11:38 · pre 196 meseci #8

$\lim_{x \to 0} { x + {\sin x} \over x - {\sin x} }=lim_{x \to 0} {( x + {\sin x})' \over (x - {\sin x})'}= \lim_{x \to 0} { 1 + {\cos x} \over 1 - {\cos x} }=\lim_{x \to 0} {(1 + {\cos x})' \over (1 - {\cos x)'}}=lim_{x \to 0}{{- \sin x} \over \sin x}= lim_{x \to 0}{( - \sin x)' \over (\sin x)'}= lim_{x \to 0}{- \cos x \over \cos x}= -1$

Ovako sam dobio -1 . Ali nisam siguran, pa sam zato pitao. Ako je greska, a verovatno jeste, chim i na pomenutom WolframAlpha sajtu se dobije drugo resenje, zanima me gde je greshka pri ovakvom postupku.
Da li mozda u ovom koraku ne smem da koristim lopitala:

$\lim_{x \to 0} { 1 + {\cos x} \over 1 - {\cos x} }$
?

Re: Limes sa trig. f-jama 03.09.2010. u 11:58 · pre 196 meseci #9

Uslov za primenu Lopitalovog pravila je da su limesi funkcija f(x) i g(x) ili nula ili beskonačno.

Posle prve primene pravila, dobijaš da su limes gornje funkcije 2, a donje 0, pa ne može više da se koristi.

Re: Limes sa trig. f-jama 03.09.2010. u 13:14 · pre 196 meseci #10

Tačno.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Limes sa trig. f-jama 12.11.2011. u 18:02 · pre 181 meseci #11

Mene muci sledece: Kako dokazati ( po definiciji ) da je $\lim_{x \to 2} { x^3 } = 8$

Re: Limes sa trig. f-jama 12.11.2011. u 19:13 · pre 181 meseci #12

Citat:

devetkamp: Mene muci sledece: Kako dokazati ( po definiciji ) da je $\lim_{x \to 2} { x^3 } = 8$

http://www.elitesecurity.org/t389338-0

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Limes sa trig. f-jama 12.11.2011. u 19:59 · pre 181 meseci #13

Citat:

Mene muci sledece: Kako dokazati ( po definiciji ) da je $\lim_{x \to 2} x^3=8$

Zamijeni dva umjesto iks-a.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Limes sa trig. f-jama 12.11.2011. u 20:07 · pre 181 meseci #14

Citat:

edisnp: Zamijeni dva umjesto iks-a.

Po definiciji je epsilon delta racun.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Limes sa trig. f-jama 12.11.2011. u 20:44 · pre 181 meseci #15

$|x^3-8|<\varepsilon$ ,

$|x-2|\cdot|x^2+2x+4|<\varepsilon$

$|x-2|<\frac\varepsilon{(x+1)^2+3}$ .

Za $\delta=\frac\varepsilon 3$ svakako iz $|x-2|<\delta$ sledi $|x^3-8|<\varepsilon$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Limes sa trig. f-jama 13.11.2011. u 11:05 · pre 181 meseci #16

I niko da vidi grešku.

Za $|x-2|<1$ je $x^2+2x+4>7$ , a samim tim i $\frac\varepsilon 7<\frac\varepsilon{x^2+2x+4}$ . Otuda za $\delta=\min\{1,\varepsilon/7\}$ svakako iz $|x-2|<\delta$ sledi $|x^3-8|<\varepsilon$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Limes sa trig. f-jama 13.11.2011. u 11:23 · pre 181 meseci #17

Citat:

Nedeljko:
$x^2+2x+4>7$ , a samim tim i $\frac\varepsilon 7<\frac\varepsilon{x^2+2x+4}$

Zar nije $\frac\varepsilon 7>\frac\varepsilon{x^2+2x+4}$ ?

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Limes sa trig. f-jama 13.11.2011. u 17:43 · pre 181 meseci #18

Da li je ispravno dokazati ovako:
$\lim_{x \to 2} { x^3 } = 8$
Difinicija
$|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon)$
$|x-2|<\delta\Rightarrow |x^3-8|<\varepsilon$
$|x-2|\cdot|x^2+2x+4|<\varepsilon$
E sad, moze li dokaz dalje ovako:

$|x-2|<\delta$
$- \delta< x - 2 < \delta$ /+2
$1<x<3$
tj. $x<3$
odakle sledi.... $|x^2+2x+4|<19$

Na kraju, $\delta=\varepsilon/19$

Re: Limes sa trig. f-jama 15.11.2011. u 16:25 · pre 181 meseci #19

Jel bi mi pomogao neko?

Re: Limes sa trig. f-jama 15.11.2011. u 17:31 · pre 181 meseci #20

Prvo, otkud znaš da iz $-\delta<x-2<\delta$ sledi $1<x<3$ . To je tačno za $\delta\leq 1$ . Znači, moraš da napišeš taj uslov.

Drugo, $|x^2+2x+4|<19$ sledi iz $|x|<3$ , što je kod tebe ispunjeno.

Dakle, treba da važi $\delta\leq 1$ i $\delta\leq\frac\varepsilon{19}$ . Drugim rečima, dovoljno je da bude $\delta=\min\{1,\varepsilon/19\}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Srodne teme