Zasto se ispituje kvadrat?

Zasto se ispituje kvadrat? 28.08.2010. u 15:10 · pre 197 meseci #1

Zadatak glasi: izračunati primenom KRO $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{xe^{x/2}}{e^{2x}+1}\,\hbox{d}x$ .

Taj integral se u rešenju onda svede na $\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{\sqrt t(t^2+1)}\,\hbox{d}t$ , pa se proučava funkcija $f(z)=\frac{g^2(z)}{h(z)(z^2+1)}$ , gde je $g$ logaritam (bla bla... regularna grana... bla bla...), a $h$ koren.

Moje pitanje je: zašto se ispituje baš kvadrat logaritma, $g^2(z)$ , a ne samo $g(z)$ ?

Re: Zasto se ispituje kvadrat? 28.08.2010. u 17:40 · pre 197 meseci #2

Rekao bih da je greška.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zasto se ispituje kvadrat? 29.08.2010. u 12:59 · pre 197 meseci #3

Nije greška, javlja se na još nekoliko mesta — u drugim zadacima, i čak na jednom mestu u skriptama, gde se objašnjava kako se radi ta vrsta integrala. Ono što nije objašnjeno je zašto se baš uzima kvadrat umesto „čistog“ logaritma.

Pa, ništa, ne gine mi bubačenje ovoga napamet.

Re: Zasto se ispituje kvadrat? 29.08.2010. u 19:21 · pre 197 meseci #4

E, izgleda da sam nešto našao što bi možda moglo da ukaže na to zašto se kvadrira: zadatak je $\int_0^{\infty}\frac{\ln x^3}{\root 3\of x(1+3x)^2}\,\hbox{d}x$ , kaže se:

Citat:

Kada imamo zajedno $\sqrt{\quad}$ i $\ln$ , integralimo po velikoj konturi, s tim što ne podižemo stepen $\ln$ -u, jer zbog $\sqrt{\quad}$ ne očekujemo da će se skratiti.

Sad mi je još manje jasno? :-/

A imam još jedno pitanje: zašto se u tom istom zadatku uzima da je $\hbox{arg}(-t)=2\pi$ ? U ovoj formuli:

$\cdots+\int_{-R}^{-\varepsilon}\frac{g(-t)}{h(-t)(1-3t)^2}(-\hbox{d}t)+\cdots =\cdots+\int_{-R}^{-\varepsilon}\frac{\ln|-t|+i\cdot 2\pi}{\root 3\of{|-t|}\cdot e^{i\frac{2\pi}3}(1-3t)^2}(-\hbox{d}t)+\cdots$

Re: Zasto se ispituje kvadrat? 04.09.2010. u 16:35 · pre 197 meseci #5

Dakle, napravio sam okinavu na ispitu.

A otkrio sam sam, ali kasno, zašto se posmatra kvadrat logaritma. Rezonovanje je da se posmatra potpuno odvojena funkcija, iz koje se može izdvojiti vrednost integrala od početne funkcije. Ovo se radi zbog oblika krive po kojoj se integriše.

Drugo pitanje, zašto je argument $2\pi$ , je takođe povezano sa krivom po kojoj se integriše. U „karneks“ konturi, donja horizontalna duž ima suprotnu orijentaciju. Potrebno je od tačke $\input amstex $$R-\delta\pmb{i}$$ \bye$ doći do tačke $\input amstex $$\varepsilon-\delta\pmb{i}$$ \bye$ , gde je $\delta>0$ . Da bi se to ostvarilo, posmatra se parametar $-t\in[-R,-\varepsilon]$ , koji je istovetan parametru $t$ , samo što „ide“ od $R$ do $\varepsilon$ , umesto obrnuto. Pošto se ta duž nalazi ispod realne ose, njen argument je $2\pi$ („obrne“ ceo krug).

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme