Nesto u vezi teorije brojeva

Nesto u vezi teorije brojeva 28.06.2010. u 00:54 · pre 199 meseci #1

Zdravo svima!
Imam jedan zadatak za koji mi je tesko utvrditi da li ima resenje ili ne,tako da me veoma zanima sta je u stvari resenje.U zadatku se pita da li postoji n razlicitih brojeva,takvih da je suma svakih n-1 (od tih brojeva) potpun kub;ja za n=4 dobijem da to vazi,i pokusao sam da uopstim,samo sto dobijem nesto sto po mom misljenju nije dovoljno dobar dokaz da takvi brojevi postoje.
Unapred hvala.

Re: Nesto u vezi teorije brojeva 28.06.2010. u 01:55 · pre 199 meseci #2

Trivijalno postoji.

Neka su $s_1,\dots,s_n$ međusobno različiti brojevi takvi da je $s_1^3+\cdots+s_n^3=S$ deljivo sa $(n-1)$ . Tada za $a_n=S/(n-1)-s_n^3$ važi

$a_1+\cdots+a_n=S/(n-1)$
$S/(n-1)-a_i=s_i^3$ .

Ostalo je da se dokaže da međusobno različiti brojevi $s_1,\dots,s_n$ takvi da je $s_1^3+\cdots+s_n^3=S$ deljivo sa $(n-1)$ postoje. Jedno od rešenja je $s_i=2(i-1)$ . Tada je $S=2n^2(n-1)^2$ , pa je $a_i=2n^2(n-1)-8(i-1)^3$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Nesto u vezi teorije brojeva 28.06.2010. u 11:30 · pre 199 meseci #3

A na kom prstenu / polju treba rešiti ovaj zadatak ?

Re: Nesto u vezi teorije brojeva 28.06.2010. u 15:06 · pre 199 meseci #4

Citat:

Nedeljko:

$a_n=S/(n-1)-s_n^3$

$a_1+\cdots+a_n=S/(n-1)$

Za n=1 dobijamo:

$a_1=S/(1-1)-s_1^3$ ?

Re: Nesto u vezi teorije brojeva 28.06.2010. u 16:33 · pre 199 meseci #5

To je rešenje za n>1. Za n=1 je bilo koja konstanta rešenje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Nesto u vezi teorije brojeva 28.06.2010. u 17:23 · pre 199 meseci #6

Dobro, onda je ono moje pitanje nevažno.

Re: Nesto u vezi teorije brojeva 28.06.2010. u 19:26 · pre 199 meseci #7

Citat:

holoni:

A na kom prstenu / polju treba rešiti ovaj zadatak ?

U prstenu cijelih brojeva imamo Nedeljkovo rješenje koje je ujedno i rješenje na polju realnih brojeva.

Citat:

Nedeljko:

$a_n=S/(n-1)-s_n^3$

Ispravka:

$a_i=S/(n-1)-s_i^3$ , i=1,2,3,...,n; n>1.

Re: Nesto u vezi teorije brojeva 28.06.2010. u 19:39 · pre 199 meseci #8

Pa i ja sam pomislio da je reč o celim brojevima. Jedino što me je zbunjivalo S/(n-1). No to je Nedeljko pojasnio tako da sve funkcioniše.

Re: Nesto u vezi teorije brojeva 01.07.2010. u 00:49 · pre 199 meseci #9

Hvala,sve je jasno!

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme