Geometrijski zadatak

Geometrijski zadatak 11.05.2010. u 01:01 · pre 200 meseci #1

Treba mi neka pomoc oko ovog zadatka,mucio sam se i mucio,i jos uvek ne znam kako da dodjem do nekog resenja.
Glasi ovako:Dat je kvadrat ABCD,pri cemu je E srediste CD.Neka je tacka M u unutrasnjosti kvadrata,tako da je ugao MAB jednak uglu MBC jednak uglu EMB.Odrediti ugao MAB.
Ako neko nadje vremena,neka pokusa da resi ovo,ja uopste ne uspevam.Unapred hvala!!

Re: Geometrijski zadatak 11.05.2010. u 03:26 · pre 200 meseci #2

Pogledati priloženi dijagram.

Stranicu kvadrata obeležićemo sa $a$ . Tačke $F$ i $G$ su presečne tačke prave $EM$ s pravama $BC$ odnosno $AD$ .

$\angle MBA=90^\circ-\varphi\Longrightarrow\angle AMB=90^\circ\Longrightarrow\angle GMA=90^\circ-\varphi=\angle GAM\Longrightarrow GA=GM=x$

Nadalje imamo $\triangle EDG\cong\triangle ECF$ - uglovi $FCE$ i $GDE$ su pravi, uglovi $FEC$ i $GED$ su unakrsni, a $EC=ED={a\over 2}$ . Stoga je $FC=GD=a-x$

Potom je $\triangle FMB$ jednakokrak, jer je $\angle FMB=\angle FBM=\varphi$ , pa je $\angle CFE=180^\circ-2\varphi$ i $FM=FB$ . Međutim

$FB=(a-x)+a=2a-x$

$FM=FE+EG-GM=2FE-GM=2\sqrt{(a-x)^2+{a^2\over 4}}-x$

Stoga dobijamo jednačinu $\sqrt{(a-x)^2+{a^2\over 4}}=a\Longrightarrow x^2-2ax+{a^2\over 4}=0$ . Rešavanjem, i uzimanjem rešenja koje je manje od $a$ , dobijamo $x={2-\sqrt{3}\over 2}a$ .

Iz toga sledi $a-x={a\sqrt{3}\over 2}$ . Prema tome, u pravouglom trouglu $FCE$ katete se odnose kao $\sqrt{3}:1$ , što znači da je $\angle EFC=30^\circ$ , te je konačno $180^\circ-2\varphi=30^\circ\Longrightarrow\varphi=75^\circ$

tacka-u-kvadratu.GIF6.62k

Re: Geometrijski zadatak 11.05.2010. u 08:43 · pre 200 meseci #3

Citat:

milutinovicsm: ...
Ako neko nadje vremena,neka pokusa da resi ovo,ja uopste ne uspevam.Unapred hvala!!

Ili upotrebi "grubu" silu

Imas nepoznatih 9 uglova, formiras 9 jednacina sa isto toliko nepoznatih i resis stvar. Sistem se resava relativno jednostavno.
Upotrebi: zbir uglova u trouglu 180 a u cetvorouglu 360 stepeni (dobijes 1 trougao i 2 cetvorougla), zbir uglova nad pravom 180 stepeni ... i resis

Re: Geometrijski zadatak 11.05.2010. u 08:54 · pre 200 meseci #4

Citat:

igorpet: Ili upotrebi "grubu" silu

Imas nepoznatih 9 uglova, formiras 9 jednacina sa isto toliko nepoznatih i resis stvar. Sistem se resava relativno jednostavno.
Upotrebi: zbir uglova u trouglu 180 a u cetvorouglu 360 stepeni (dobijes 1 trougao i 2 cetvorougla), zbir uglova nad pravom 180 stepeni ... i resis

Iliti "Uticaj poluprovodničkog stila razmišljanja na savremene matematičare"...

Re: Geometrijski zadatak 11.05.2010. u 10:04 · pre 200 meseci #5

Hvala puno!!

Re: Geometrijski zadatak 11.05.2010. u 11:55 · pre 200 meseci #6

Citat:

Farenhajt: Iliti "Uticaj poluprovodničkog stila razmišljanja na savremene matematičare"...

Algoritamsko, algoritamsko :)

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme