Granicna vrednost niza, par pitanja oko zadatka

Granicna vrednost niza, par pitanja oko zadatka 04.02.2010. u 09:16 · pre 203 meseci #1

Malo me je sramota, ovo sam nekada odlicno znao. Puno toga sam zaboravio, trebalo mi je dosta vremena da resim zadatak, a nisam bas ni siguran da je moj postupak resavanja matematicki ispravan.

Naime, zadatak kaze, odrediti granicnu vrednost niza:

$\sqrt{2}, \sqrt{2+\sqrt{2}}, \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \dots$

Resenje koje treba da se dobije je 2.

Naime, ja sam prvo niz pretvorio u stepeni oblik, i tom prilikom primetio sam ovo:

$2 ^ {1 \over 2}, 2 ^ {{1 \over 2 } \cdot {1 \over 2} + { 1\over 2}}, \dots$

Dakle, svaki naredni clan dobije se kada se izlozilac stepena prethodnog clana najpre pomnozi a zatim sabere sa $1\over2$ . Jedno sat vremena pokusavao sam da pronadjem nekakvu pravilnost kako bih niz pretvorio u opsti oblik (sa $n$ ). Tek kasnije sam primetio ovo:

$2^{1 \over 2}, 2^{3\over4}, 2^{7\over8}, 2^{15\over16}, 2^{31\over32}, \dots$

Dakle, imenilac izlozioca stepena se udvostrucava, a brojilac uzima vrednost za 1 manju od imenioca. Na osnovu ovoga, napisao sam uopsteni oblik za ovaj niz i pronasao njegovu granicnu vrednost:

$lim _{n \to \infty} {2^{{2n-1}\over{2n}}} = lim _{n \to \infty} {2^{{{n(2-{1 \over n})}} \over {2n}}} = lim _{n \to \infty} {2^{{2 - {1 \over n}} \over 2}} = 2$

Da li ovo iole valja?

I jos jedno pitanje, ono sto me najvise zanima: kao sto vidite, nekim svojim nagadjanjem uspeo sam nekako da svedem niz u opsti oblik i resim zadatak (pod pretpostavkom da mi je resenje tacno), medjutim, da li bih to mogao uociti da je zadatak bio malo slozeniji? Dakle, da li postoji neka metoda kojom svaki niz mogu svesti na opsti oblik?

Unapred hvala. $\heartsuit$ :D

Potpis

...

Re: Granicna vrednost niza, par pitanja oko zadatka 04.02.2010. u 11:31 · pre 203 meseci #2

Opšti član niza bi trebao napisati u sledecem obliku: a(n)=sqrt(2+a(n-1))...jednacina(*) gdje j n i n-1 u indexu, e sad primjenis teoremu po kojoj ako niz tezi nekom konacnom broju onda i svakinjegov podniz tezi tom broju,nek aje to broj a, tj, a(n) tezi a i a(n-1) tezi a, rjesavajuci jednacinu (*) dobijamo: a=sqrt(2+a) i dalje da je a=2 i a=-1, ovo drugo otpada.Ima jos jedan nacin da se rijesi a to je preko monotonosti i ogranicnosti.

Potpis

www.portanaturae.com

Re: Granicna vrednost niza, par pitanja oko zadatka 04.02.2010. u 13:23 · pre 203 meseci #3

To sve važi ako je niz konvergentan, ali to treba dokazati. Da, dokazuje se indukcijom da je $a_n<a_{n+1}<2$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Granicna vrednost niza, par pitanja oko zadatka 04.02.2010. u 14:58 · pre 203 meseci #4

Brolly ovo iole ne valja.
Kojom formulom si uspeo da rasturiš koren(2+koren(2)) i da dobiješ 2^(3/4)????
Pod spoljnim korenom ti je + a ne puta???

Digitron ne laže:

koren(2+koren(2)) = 1,847759065026
2^(3/4) = 1,681792830507

U srednjoj školi se dobija kec ko vrata za navedenu "transformaciju".

Re: Granicna vrednost niza, par pitanja oko zadatka 05.02.2010. u 16:52 · pre 203 meseci #5

[/quote]

Citat:

miki069:
Pod spoljnim korenom ti je + a ne puta???

U pravu si. Sve sto sam pisao pada u vodu. Al' dobro, ko radi taj i gresi. ;-) Ipak mi je drago da sam postavio temu, celo ovo moje "resenje" mi je nekako sumnjivo zvucalo, znao sam da nesto ne stima.
Hvala svima na odgovorima, pokusacu nesto da uradim.

Potpis

...

Srodne teme